Atividades Tutoriais de Cálculo

Volume 1 - Uma Variável

Gabaritos

Respostas dos Exercícios - attuca5mais

1)
[> Sum(k^2+3*k+5,k=1..n)=sum(k^2+3*k+5,k=1..n);

2)
[> middlebox(x^3+1,x=0..2,20);
  middlesum(x^3+1,x=0..2,20)=value(middlesum(x^3+1,x=0..2,20));

3)
[> middlesum(x^3+1,x=0..2,n)=simplify(value(middlesum(x^3+1,x=0..2,n)));

4)
[> Limit(middlesum(x^3+1,x=0..2,n),n=infinity)=
limit(value(middlesum(x^3+1,x=0..2,n)),n=infinity);

5)
Solução : a soma de Riemann indicada, isto é,
[> Sum(Pi*(xi[k]^2-4)*Delta*x,k=1..n);

é relativa à função x -> Pi*(x^2 - 4), definida no intervalo [2, 3]. Escolhendo-se k como sendo o ponto médio de cada subintervalo, essa soma pode ser calculada com o comando
[> middlesum(Pi*(x^2-4),x=2..3,n)=value(middlesum(Pi*(x^2-4),x=2..3,n));

Finalmente, passando ao limite dessas somas com n tendendo a infinito, obtém-se que a integral da função no intervalo [2, 3] é igual a
[> Int(Pi*(x^2-4),x=2..3)=
  limit(value(middlesum(Pi*(x^2-4),x=2..3,n)),n=infinity);

6)
Solução : a partir do gráfico
[> plot(abs(x-1),x=0..3,scaling=constrained,view=[0..3,0..2]);

a integral é igual à soma das áreas de dois triângulos: um de área igual a (1/2)*1*1 e outro igual a (1/2)*2*2. Assim, a integral é igual a
[> Int(abs(x-1),x=0..3)= (1/2)*(1+4);

7)
[> Int((1+a*cot(z)^2)*b*cot(z)/(c*csc(z)),z)=
  simplify(int((1+a*cot(z)^2)*b*cot(z)/(c*csc(z)),z));

8)
Solução : basta verificar que f(0) = 7, df(0) = 2 e que diff(df(x), x) = 3*sin(x) - 4*cos(x), o que pode ser feito com o comando
[> f(0); df(0);
  Diff(df(x),x) = diff(df(x),x);

9)
Solução : a menos de constante, a função df(x) é dada por
[> Int(12*x^2-6*x+1,x)=int(12*x^2-6*x+1,x);

e portanto df(x) = 4*x^3 - 3*x^2 +x +C3. Integrando mais uma vez, obtém-se que, a menos de constante, a função f(x) é dada por
[> Int(4*x^3-3*x^2+x+C3,x)=int(4*x^3-3*x^2+x+C3,x);

Assim, deve-se ter f(x) = x^4 - x^3 + x^2/2 + C3*x + C4. Definindo essa função juntamente com sua derivada, tem-se
[> f:=x->x^4-x^3+1/2*x^2+C3*x +C4; 'f(x)'=f(x);
  df:=unapply(diff(f(x),x),x); 'df(x)'=df(x);

Como antes, basta agora resolver o sistema
[> solve({f(0)=3,df(0)=-3},{C3,C4});

Definindo os valores obtidos acima, a expressão de f(x) é dada por
[> C3:=-3; C4:=3; 'f(x)'=f(x);

10)
Solução : como o espaço percorrido é dado por
[> s:=t->a0*t^2/2+C6;

segue que, em 10 segundos, o automóvel percorreu
[> s(10)-s(0);

Logo, para que s(10) - s(0) seja igual a 150 m, a0 deve ser escolhido como sendo igual a
[> 'a0'=solve(s(10)-s(0)=150,a0);

isto é, a aceleração procurada é igual a 3 m/s^2.

11)
Solução : se dA(t) = 5 + 0.01*t, então, a menos de constantes, A(t) é uma antiderivada de dA(t), isto é,
[> Int(5+0.01*t,t)=int(5+0.01*t,t);

Assim, A(t) = 5*t + 0.005*t^2 + C1, em que C1 = A(0) = 0. Logo, o número t de anos em que A(t) = 100 pode ser obtido com o comando
[> solve(5.*t+0.005*t^2=100,t);

Assim, as reservas estarão esgotadas em, aproximadamente, dezenove anos e meio.

12)
[> Int(1000*cos((Pi/5)*t),t)=int(1000*cos((Pi/5)*t),t);

13)
[> N:=t->5000*sin(1/5*Pi*t)/Pi+k;

14)
[> solve(N(5)=3000,k); 
[> k:=3000; plot(N(t),t=0..5);

15)
[> Int(1000*cos((Pi/5)*t),t)=
  changevar(s=(Pi/5)*t,Int(1000*cos((Pi/5)*t),t),s);

16)
[> i:=t->i0*sin(w*t);
  p:=t->R*i(t)^2;

17)
[> Int(p(t),t)=int(p(t),t); 
[> P:=t->R*i0^2/w*(-1/2*cos(w*t)*sin(w*t)+1/2*w*t);

18)
[> pm:=(P(2*Pi/w)-P(0))/(2*Pi/w);

19)
[> int(p(t),t=0..2*Pi/w)/(2*Pi/w);