Atividades Tutoriais de Cálculo

Volume 1 — Uma Variável

Gabaritos

Respostas dos Exercícios - attuca6

1)
[> r:=x->1-x; c:=x->1-sqrt(1-(x-1)^2);

2)
[> plot([r(x),c(x)],x=0..1,scaling=constrained,color=[red,blue]);

3)
[> v:=x->sqrt(2*10*(r(x0)-r(x))); v(x);

4)
[> x0:=0.2; plot(v(x),x=x0..1);

5)
[> f:=x->sqrt(2)/v(x); f(x);

6)
[> Int(f(x),x=x0..1)=int(f(x),x=x0..1);

7)
[> T:=x0->evalf(1/5*sqrt(5-5*x0)*sqrt(2)); T(x0);

8)
[> Ts; T(0); T(1);

9)
[> T(0.1); Ta; T(0.2);

10)
[> h:=y->2*(1/10*sqrt(10))*sqrt(y);
[> h(1-x0)-h(0);
[> T:=x0->h(1-x0)-h(0); T(x0);

11)
[> solve(T(x)=Ta,x);
[> x0:=0.1406307750:

12)
[>    x0:=.1406307750:
   caminhos:=plot([1-x,1-sqrt(1-(x-1)^2)],x=0..1,color=[red,blue]):
   pontos:=pointplot({[0,1],[1,0],[x0,1-x0]},symbol=circle,color=red):
   texto:=textplot({[0.1,1,`A`],[1,0.1,`B`],[x0+0.05,1-x0+0.05,`C`]},          color=blue,font=[TIMES,ITALIC,14]):
   display(caminhos,texto,pontos,scaling=constrained,
   view=[-0.1..1.2,-0.1..1.2],labels=[x,y],title=`Figura 5 -
   O exato ponto C sobre o segmento AB`);

13)
[> Tm:=evalf(T(1/3)); Ta;

14)
[> vc:=x->sqrt(2*10*(c(x1)-c(x))); vc(x);

15)
[> x1:=0.9; plot(vc(x),x=x1..1);

16)
[> 0.1/0.32;
Justificativa: Se a velocidade fosse constante e igual a 0.32 m/s e o espaço percorrido de 0.1 m, o tempo necessário para isso seria de 0.1 / 0.32 = 0.3125 s. Como a velocidade da conta é menor que 0.32 m/s e o espaço percorrido é maior que 0.1, segue-se que o tempo de trânsito partindo de (0.9, c(0.9)) é maior que 0.3125 s.

17)
[> dc:=unapply(diff(c(x),x),x);
  s:=x->simplify(sqrt(1+dc(x)^2)); s(x);

18)
[> Int(s(x),x=x1..1)=int(s(x),x=x1..1);

19)
[> assume(t>-Pi/2):additionally(t<0);
  Int(s(x),x=x1..1)=simplify(changevar(x=1+sin(t),Int(s(x),x=x1..1),t));

20)
[> S:=x1->-arcsin(x1-1); S(x1);

21)
[> S(0); S(1); plot(S(x1),x1=0..1);

22)
[> fc:=x->sqrt(1+dc(x)^2)/vc(x); fc(x);

23)
[> Int(fc(x),x=x1..1)=int(fc(x),x=x1..1);

24)
[> Tc:=unapply(int(fc(x),x=x1+10^(-5)..1),x1);

25)
[> evalf(Tc(0.2)); Tm; evalf(Tc(0.4));

Desafios

1)
[> assume(t>-Pi/2):additionally(t<0):
  Int(fc(x),x=x1..1)=simplify(changevar(x=1+sin(t),Int(fc(x),x=x1..1),t));

2)
[>I1:=1/2*Int(1/(sqrt(-5*sqrt(-x1*(x1-2))+5*cos(t))),t=arcsin(x1-1)..0);

3)
[> assume(t1>-Pi/2): additionally(t1<0):
  I2:=simplify(subs(x1=1+sin(t1),I1));

4)
[> TC1:=unapply(value(I2),t1);

5)
[> TC:=x1->TC1(arcsin(x1-1)); TC(x1);

6)
[> Ta; evalf(TC(0));

7)
[> evalf(TC(0.2)); Tm; evalf(TC(0.4));