Volume 2 -- Várias Variáveis

Gabaritos

2)
Respostas : no caso em que b = 0, o disco não gira; no caso em que b = -0.4, o disco gira no sentido anti-horário.

3)
[> G:=(x,y,z)->[-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2),0];

4)
[> cilindro:=tubeplot([0,0,s],s=-1..0,radius=1.4, style=wireframe,
                     color=cyan,grid=[2,20]):
  display(cilindro,axes=normal,view=[-1.4..1.4,-1.4..1.4,-1..0.1],
        orientation=[40,50],labels=[y,x,z],title=`Figura 4`);

5)
[> campo1:=fieldplot3d(G(x,y,z),x=-1..1,y=-1..1,z=-1..0,grid=[6,4,2],
                      arrows=SLIM,color=black):
  display(cilindro,campo1,axes=normal,view=[-1.4..1.4,-1.4..1.4,-1..0.1],
          orientation=[40,50],labels=[y,x,z],title=`Figura 5`);

6)
[> a:=0.4: b:=0:
  disco:=spacecurve([P(t)],t=0..2*Pi,color=red,thickness=3):
  display(cilindro,campo1,disco,axes=normal,
          view=[-1.4..1.4,-1.4..1.4,-1..0.1],orientation=[40,50],
          labels=[y,x,z],title=`Figura 6`);
  a:='a': b:='b':

7)
Resposta : ?????

8)
[> a:=0.2: b:=0.4:
  Int(CdP(t),t=0..2*Pi)=int(CdP(t),t=0..2*Pi);
  a:='a': b:='b':

9)

10)
[> GdP:=t->simplify(innerprod(G(P(t)),dP(t))); GdP(t);
  a:=0.2: b:=0:
  Int(GdP(t),t=0..2*Pi)=int(GdP(t),t=0..2*Pi);
  a:='a': b:='b':

11)
[> a:=0.2: b:=0:
  Int(k*GdP(t),t=0..2*Pi)=int(k*GdP(t),t=0..2*Pi);
  a:='a': b:='b':

12)

13)
[> assume(a>0); assume(b,real); additionally(a<abs(b));
  Int(GdP(t),t=0..2*Pi)=int(GdP(t),t=0..2*Pi);
  a:='a': b:='b':

14)
[> a:=1: b:=0:
  fio:=tubeplot([0,0,s], s=-1.4..1.4, radius=0.2,style=wireframe,
                color=grey, grid=[2,20]):
  corrente:=arrow([0,0,-1],[0,0,1],shape=double_arrow,plane=[0,0,1],
                  width=[0.05,relative],head_length=[0.3,relative],
                  head_width=[6,relative],difference,color=magenta):
  disco:=spacecurve([P(t)],t=0..2*Pi,color=red,thickness=3):
  pontoP:=(1/2,-sqrt(3)/2,0):
  pontoB:=(sqrt(3)/2,1/2,0):
  vetorP:=V([0,0,0],[pontoP]):
  vetorB:=V([pontoP],[pontoP]+[pontoB]):
  texto:=textplot3d({[pontoP,`P`],[pontoP+pontoB,`B`]},color=black):
  display(fio,corrente,disco,vetorP,vetorB,texto,axes=normal,
          view=[-1.4..1.4,-1.4..1.4,-1.4..1.4],orientation=[-40,40],
          title=`Figura 9 modificada`);
  a:='a': b:='b':

15)
[> U:=(x,y,z)->[-y/sqrt(x^2+y^2),x/sqrt(x^2+y^2),0]; U(x,y,z);

16)
[> a:=1: b:=0:
  campo2:=fieldplot3d(U(x,y,z),x=-1..1,y=-1..1,z=-1..0,
                     grid=[6,4,2],arrows=SLIM,color=black):
  disco:=spacecurve([P(t)],t=0..2*Pi,color=red,thickness=3):
  display(fio,campo2,disco,axes=normal,view=[-1.4..1.4,-1.4..1.4,-1..0.1],
          orientation=[55,55],labels=[y,x,z],title=`Figura 10`);
  a:='a': b:='b':

17)
[> UdP:=t->simplify(innerprod(U(P(t)),dP(t))); UdP(t);
  assume(a>0): b:=0:
  Int(UdP(t),t=0..2*Pi)=int(UdP(t),t=0..2*Pi);
  a:='a': b:='b':

18)
Justificativa : como B(P(t)) é um múltiplo constante de U(P(t)), do exercício 11 segue-se que a circulação de B ao longo de P(t) é também um múltiplo da circulação de U ao longo de P(t). Usando o exercício 17, segue-se que a circulação de B ao longo de P(t) é igual a 2*Pi*a*nB(x, y, 0).

19)
[> nB:=(x,y,z)->mu0*i/(2*Pi*sqrt(x^2+y^2));

20)
[> B:=(x,y,z)->expand(nB(x,y,z)*U(x,y,z)); B(x,y,z);

21)
[> BdP:=t->simplify(innerprod(B(P(t)),dP(t))); BdP(t);
  assume(a>0); assume(b,real); additionally(a<abs(b));
  Int(BdP(t),t=0..2*Pi)=int(BdP(t),t=0..2*Pi);
  a:='a': b:='b':
Resposta : no caso em que 0 < a < abs(b), isto é, o "eixo Oz não perfura o disco", não passa corrente através do disco e, pela lei de Ampère, a circulação ao longo do bordo do disco deve ser nula.

Desafios

1)
Resposta : deve-se ter i_a / (Pi*a^2) = i / (Pi*r^2), de onde se segue que i_a = i*(a / r)^2.

2)
[> nBI:=(x,y,z)->mu0*i*(x^2+y^2)/(r^2*2*Pi*sqrt(x^2+y^2));

3)
[> nBI(x,y,z); nB(x,y,z);

4)
[> r:=0.001: i:=1: mu0:=4*Pi*10^(-7):
  gI:=plot(nBI(x,0,0),x=0..r):
  gE:=plot(nB(x,0,0),x=r..10*r):
  display(gI,gE);