Volume 2 -- Várias Variáveis

Gabaritos

1)
[> En1:=(x,y)->innerprod(E(x,y,a),[0,0,1]); En1(x,y);

2)
[> fS1_2:=Doubleint(En1(x,y),x,y,D1);

3)
[> fS1_1:=fS1_2=changevar({x=r*cos(theta),y=r*sin(theta)},
                         Doubleint(integrand(fS1_2),x,y,D1_2),[r,theta]);

4)
[> fS1:=rhs(fS1_1)=Doubleint(integrand(rhs(fS1_1)),theta=0..2*Pi,r=0..R);
  FS1:=value(rhs(fS1));

5)
Justificativa : da igualdade E(x, y, -a) = -E(x, y, a) segue-se que produto escalar entre os vetores E(x, y, -a) e [0, 0, -1] é o mesmo que entre os vetores E(x, y, a) e [0, 0, 1]. Além disso, o domínio de integração é o mesmo nos dois casos. Segue-se que o fluxo de E(x, y, z) através de S1 é o mesmo que através de S2.

6)
[> p:=(theta,z)->(R*cos(theta),R*sin(theta),z);
  dp1:=unapply(diff([p(theta,z)],theta),(theta,z));
  dp2:=unapply(diff([p(theta,z)],z),(theta,z));

7)
[> crossprod(dp1(theta,z),dp2(theta,z));

[ > pv:=(theta,z)->[R*cos(theta),R*sin(theta),0];

8)
[> R:=1: a:=1:
  S1:=plot3d([x,y,a],y=-sqrt(R^2-x^2)..sqrt(R^2-x^2),x=-R..R):
  S2:=plot3d([x,y,-a],y=-sqrt(R^2-x^2)..sqrt(R^2-x^2),x=-R..R):
  S3:=plot3d([cos(theta),sin(theta),z],theta=0..2*Pi,z=-a..a):
  S:={S1,S2,S3}:
  teste:=V([p(Pi/2,1/2)],[p(Pi/2,1/2)]+pv(Pi/2,1/2)):
  display(S,teste,style=hidden,scaling=constrained,axes=normal,
          orientation=[50,75],title=`Figura 3`);
  R:='R': a:='a': assume(R>0): assume(a>0):

9)
[> En3:=(theta,z)->simplify(innerprod(E(p(theta,z)),pv(theta,z)));
  En3(theta,z);

10)
[> fS3:=Doubleint(En3(theta,z),theta=0..2*Pi,z=-a..a);
  FS3:=value(fS3);

11)
[> FS:=simplify(FS3+2*FS1);