Teoria da Medida

No curso, vamos utilizar os seguintes livros. Nosso guia será Jesus... ;-)
Do Kallenberg, vamos usar apenas os capítulos 1, 2, 3 e (talvez) 8.

• Pedro Jesus Fernandez. Medida e Integração. Projeto Euclides.
• Olav Kallenberg. Foundations of Modern Probability. Third edition. Probability Theory and Stochastic Modelling (99). Springer.
• Alok Goswami & B. V. Rao. Measure Theory for Analysis and Probability. Indian Statistical Institute Series. Springer.
• Donald L. Cohn. Measure Theory. Birkhäuser Advanced Texts. Birkhäuser.

• Plano de ensino.

Exercícios para a P2

1. Se $(\Omega, \sigma, \mu)$ é um espaço de medida... o que significa dizer que esse espaço é $\sigma$-finito?

2. Sejam $(X, \sigma_x, \alpha)$ e $(Y, \sigma_Y, \beta)$ espaços de medida finitos. Vamos fazer um pedacinho da demonstração do teorema de Fubini... Mostre todos conjuntos $D$ na $\sigma$-álgebra produto satisfazem \begin{equation*} \int_X \int_Y 1_D(x,y)\,\mathrm{d}\beta(y)\,\mathrm{d}\alpha(x) = \iint_{X \times Y} 1_D\,\mathrm{d}(\alpha \times \beta). \end{equation*} Dica: mostre que os retângulos satisfazem a igualdade, e que a família dos conjuntos que satisfazem tal igualdade forma uma $\sigma$-álgebra.

3. Se $f \geq 0$ é mensurável, então $f = 0$ $\mu$-qtp se, e somente se, \begin{equation*} \int f\,\mathrm{d}\mu = 0. \end{equation*}

4. Se $f$ é mensurável, então $f = 0$ $\mu$-qtp se, e somente se, para todo conjunto mensurável $A$, \begin{equation*} \int_A f\,\mathrm{d}\mu = 0. \end{equation*}

5. Se $f$ e $g$ são integráveis, então $f = g$ $\mu$-qtp se, e somente se, para todo conjunto mensurável $A$, \begin{equation*} \int_A f\,\mathrm{d}\mu = \int_A g\,\mathrm{d}\mu. \end{equation*}

6. Mostre que se $f \geq 0$ é mensurável, então \begin{equation*} \gamma(A) = \int_A f\,\mathrm{d}\mu \end{equation*} é uma medida.

7. Mostre que se $\mu$ é uma medida com sinal, e a sequência de conjuntos $A_n$ é mensurável, então \begin{equation*} A_n \uparrow A \Rightarrow \mu(A_n) \rightarrow \mu(A). \end{equation*} Mas não é necessariamente verdade que \begin{equation*} \mu(A_n) \uparrow \mu(A). \end{equation*}

7. Mostre que se $\mu$ é uma medida com sinal, e a sequência de conjuntos $A_n$ é mensurável com $|\mu(A_1)| < \infty$, então \begin{equation*} A_n \downarrow A \Rightarrow \mu(A_n) \rightarrow \mu(A). \end{equation*}