Topologia Geral (verão / online)

• Notas de aula / apostila.
• Plano de ensino com a data da prova.
• Várias definições alternativas de topologia.
• Em 2020, tivemos duas provas. Aqui está a P1 de 2020.
• Aqui está a P2 de 2020.

As vídeo aulas serão editadas para maximizar o aproveitamento do tempo. Nada de esperar o professor apagar o quadro, ou terminar de escrever. Nada de aulas onde o professor apenas fala, enquanto vai passando slides.

As aulas serão transmitidas através de lives no youtube. Qualquer um pode assistir e participar.

Discussões serão feitas através da plataforma Talkyard, que funciona como se fosse um "StackExchange", só que é software livre. :-)

Os vídeos / streams serão intercalados com tempo para atividades a serem desenvolvidas no Talkyard,

Cronograma Parcial

A primeira aula é quarta-feira, 01/12/2021.

01 -- 01/12/2021: motivação

02 -- 02/12/2021: revisão relâmpago -- espaços métricos

Não teremos tempo para fazer exercícios no horário de aula. Mas tem muito dever de casa para ser resolvido e debatido no Talkyard.

XX -- 03/12/2021: exercícios e desafios

Hoje a aula é só bagunça! Tragam o violão. :-)

Vamos fazer exercícios e desafios no talkyard.

O ideal é que a coisa fique parecida com o StackExchange.

03 -- 06/12/2021: o conceito de vizinhança

Podemos tratar de uma topologia de várias formas. Podemos falar de abertos, de fechados, podemos falar da operação de fecho, de interior, de redes, de filtros, de vizinhanças, etc...

Nos cursos de topologia, normalmente o primeiro contato é com os abertos. A definição vem diretamente das propriedades que são demonstradas nos espaços métricos. Mas mesmo nos espaços métricos, os abertos costumam ser definidos --- ainda que de maneira disfarçada --- em termos de vizinhanças! Um aberto é um conjunto $A$ tal que $$ \forall a \in A,\, \exists B \in \mathcal{B}(a) \text{ tal que } B \subset A. $$ Ora, o que estamos dizendo é que $A$ é vizinhança de todos os seus pontos!

Agora, vamos nos colocar no papel de inventores (ou descobridores), e não de meros aprendizes. Se fossemos inventar um conceito de vizinhanças... para cada ponto $x \in X$, uma família $\mathcal{V}(x)$ que nos permitisse fazer argumentos como já fazemos para espaços métricos. Em especial, que nos permitisse falar de convergência e continuidade. Como gostaríamos que fosse esse sistema de vizinhanças? Que propriedades (axiomas) deveria satisfazer? Que implicações tem essas escolhas?

04 -- 07/12/2021: bases para o filtro de vizinhanças

Em um espaço métrico $X$, as bolas centradas em um ponto $a$, $\mathcal{B}(a)$, são vizinhanças que são suficientes para descrever qualquer outra vizinhança de $a$. A esse tipo de família, damos o nonme de base de vizinhanças de $a$.

Assim como com as bolas nos espaços métricos, podemos falar tudo de topologia geral se conhecermos uma base de vizinhanças para cada ponto.

05 -- 08/12/2021: construindo $\mathcal{V}(x)$

Com o que temos até o momento, para falarmos de topologia, precisamos de uma família $\mathcal{V}(x)$ para cada ponto $x$. E essas famílias precisam satisfazer aquelas cinco condições mencionadas na aula passada.

Se quisermos construir uma topologia em $X$, como podemos construir $\mathcal{V}(x)$ garantindo que todos os axiomas sejam satisfeitos?

Hoje, NÃO vamos nos preocupar com o último item da definição: $$ D \in \mathcal{V}(x) \Rightarrow \mathring{D} \in \mathcal{V}(x). $$

06 -- 09/12/2021: o 5º axioma

Já sabemos construir filtros. Mas um sistema de vizinhanças para um ponto $x$ é mais do que um filtro de conjuntos que contém o ponto $x$. Precisamos também fazer com que esse sistema satisfaça o último axioma: $$ D \in \mathcal{V}(x) \Rightarrow \mathring{D} \in \mathcal{V}(x). $$

07 -- 10/12/2021: topologia com abertos

Hoje começa o curso de topologia. Pra você, que estava perdido... vamos definir o que é uma topologia, o que são fechados, o que é o interior, o que é o fecho e o que é uma função contínua. Tudo feito a partir dos conjuntos abertos.

08 -- 13/12/2021: axiomas de separação

Alguns espaços topológicos lembram mais os espaços métricos que outros. Por exemplo, nos espaços métricos, dados dois pontos distintos $a$ e $b$, sempre existe uma vizinhança de $a$ que não contém $b$, e vice-versa. Isso, porque $d(a,b) > 0$. Mais do que isso, existe uma vizinhança $A$ de $a$ e uma vizinhança $B$ de $b$, tais que $A \cap B = \emptyset$. Sempre conseguimos separar pontos em um espaço métrico, dessa maneira.

Hoje, vamos ver várias maneiras de classificar espaços topológicos, de acordo com essas propriedades de separação.

09 -- 14/12/2021: topologias inicial e final

Suponha que temos uma função contínua $f: (X, \tau_X) \rightarrow (Y, \tau_Y)$. Se substituirmos $\tau_X$ por uma topologia com mais abertos, $f$ não deixará de ser contínua. E se substituirmos $\tau_Y$ por uma função com menos abertos, $f$ também nunca deixará de ser contínua.

A topologia inicial induzida por $f$ em $X$, é a menor topologia que podemos colocar em $X$ de modo que $f$ seja contínua. E a topologia final induzida por $f$ em $Y$, é a maior topologia que podemos colocar em $Y$ de modo que $f$ seja contínua.

10 -- 15/12/2021: produto de finitas topologias

Ao fazermos o produto de dois espaços métricos, tínhamos algumas alternativas que, de fato, geravam a mesma topologia. Topologia descreve proximidade. Estar próximo do ponto $(a,b)$ é estar próximo de $a$ na primeira coordenada, e próximo de $b$ na segunda. Assim, se $X$ e $Y$ são espaços topológicos, podemos induzir em $X \times Y$ uma topologia: a topologia produto.

XX -- 16/12/2021: dúvidas

Em atenção aos estudantes que estão com um pouco de dificuldade... Hoje é pra tirar dúvidas. Fazer perguntas! Uma pausa pra respirar.

11 -- 17/12/2021: produto infinito de topologias

Podemos fazer o produto de uma quantidade infinita de espaços topológicos. O conceito é bastante útil porque permite construções que podem ser usadas para representar uma diversidade de diferentes coisas.

XX -- 20/12/2021: orientações sobre o trabalho final

Orientações sobre o trabalho final estão disponíveis no Talkyard.

Hoje é um dia para que os estudantes possam tirar dúvidas sobre os temas do trabalho final. Também é dia de fazer exercícios e tirar dúvidas sobre os exercícios.

12_01 -- 21/12/2021: espaços métricos

Vamos falar sobre completude.

Sequências de Cauchy são aquelas que, em algum sentido, "deveriam convergir". Quando elas de fato convergem, dizemos que o espaço métrico é completo.

12_02 -- 22/12/2021: espaços métricos

Vamos falar sobre compacidade sequencial.

Em topologia geral, compacidade não é um conceito tão utilizado (na minha opinião). Em geral, falamos apenas em compacidade.

Como uma preparação... antes de falarmos em compacidade, vamos falar sobre compacidade sequencial. Principalmente nos espaços métricos.

13 -- 03/01/2022: topologia quociente

O quociente surge quando identificamos vários pontos e tratamos como um só.

Em teoria de grupos, por exemplo, quando temos um homomorfismo de grupos \begin{equation*} f: G \rightarrow H, \end{equation*} o núcleo $N = f^{-1}(1_H)$ é tal que para qualquer $g \in G$, todos os elementos $a \in gN$ são levados por $f$ no mesmo ponto $f(g)$. De fato, \begin{equation*} a \in gN \Rightarrow \exists n \in N,\, a = gn, \end{equation*} implica em \begin{equation*} f(a) = f(gn) = f(g) f(n) = f(g). \end{equation*} Sendo assim, podemos "passar o quociente": \begin{CD} G @>{f}>> H \\ @V{\pi}VV \tilde{f} {\nearrow} \\ G/N. \end{CD} No fundo, estamos tratando todo o conjunto $gN$ como se fosse um ponto só, e definindo $\tilde{f}(gN) = f(g)$.

A topologia quociente nos permite colocar em $G/N$ uma topologia compatível com esse tipo de construção.

14_01 -- 04/01/2022: compacidade

Finalmente, vamos falar sobre compacidade! :-)

XX -- 05/01/2022: exercícios e dúvidas

Hoje é só no fórum.

14_02 -- 06/01/2022: compacidade

Por uma aplicação contínua, imagem inversa de fechado é fechada. E imagem direta de compacto é compacta.

Hoje, vamos falar da relação entre os espaços de Hausdorff e a compacidade. Em particular, em um espço topológico que além de ser compacto, também é de Hausdorff, um conjunto é fechado se, e somente se, for compacto. Neste caso, por exemplo, as aplicações contínuas são fechadas. A imagem direta de um fechado (compacto) é fechada.

Sexta-feira, dia 05/01/2022, HAVERÁ aula. Achei melhor dividir o conteúdo em duas aulas, ao invés de apresentar tudo de uma só vez.

14_3 -- 07/01/2022: compacidade local

Às vezes, você precisa que um determinado ponto do espaço tenha uma vizinhança compacta. Não só isso... às vezes, você precisa poder tomar essa vizinhança compacta tão pequena quanto você queira. Isso pode ser feito quando o espaço é localmente compacto.

xx -- 10/01/2022: PROVA

Você já deve ter recebido a prova no seu e-mail!

15_1 -- 11/01/2022: gráficos fechados

Vamos fazer uma preparação para que na próxima aula possamos falar um pouco sobre o chamado teorema do gráfico fechado dos espaços de Banach. Não vamos demonstrar o tal teorema. O que vamos fazer é ver como a topologia geral pode nos ajudar a utilizar o teorema de um modo eficiente.

15_2 -- 12/01/2022: gráficos fechados

Vamos falar um pouco sobre o chamado teorema do gráfico fechado dos espaços de Banach. Não vamos demonstrar o tal teorema. O que vamos fazer é ver como a topologia geral pode nos ajudar a utilizar o teorema de um modo eficiente.