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Princípio Variacional

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O conceito de entropia ($h_\mu(T)$) nasceu da observação dos sistemas termodinâmicos. Sua formulação estatística (combinatorial) é fruto do trabalho de Boltzmann em mecânica estatística, e posteriormente do trabalho de Shannon em teoria de informação. Adler, Konheim e McAndrew criaram o conceito de entropia topológica ($h(T)$) para sistemas dinâmicos topológicos compactos. Dinaburg e Bowen deram uma definição de entropia para sistemas munidos de uma métrica ($h_d(T)$). Para sistemas metrizáveis compactos, a definição de entropia de Dinaburg e Bowen é facilmente mostrada ser independente da métrica adotada, e equivalente à entropia topológica definida por Adler, Konheim e McAndrew. É sabido que para os sistemas compactos metrizáveis $T: X \rightarrow X$, vale o princípio variacional $$ \sup_{\mu} h_\mu(T) = h(T) = h_d(T), $$ onde o supremo é tomado em todas as medidas $T$-invariantes, e $d$ é uma métrica qualquer compatível com a topologia de $X$. As maiores inspirações para esta tese, foram

• a demonstração clássica de Misiurewicz para o princípio variacional no caso compacto (veja o teorema 8.6 do livro do Peter Walters); e
• o trabalho de Patrão sobre o princípio variacional em espaços métricos não-compactos --- principalmente a idéia de coberturas admissíveis.

Estendemos o princípio variacional e mostramos que em sistemas cujo espaço de fase $X$ admite uma compactificação por um ponto metrizável, $$ \sup_{\mu} h_\mu(T) = h(T) = \min_d h_d(T), $$ onde o mínimo de $h_d(T)$ é atingido para qualquer métrica proveniente de uma compactificação de $X$ por um ponto.