Projetos

Livro de Topologia

Já com 11 capítulos: Livro de topologia geral. O livro pode ser baixado, modificado, impresso, lido em voz alta, etc.

Também existe uma versão online disponível.

Medidas de Gibbs

Ainda em fase de encubação: futuras notas de aula de medidas de Gibbs.

A forma mais comum de se especificar um espaço de medida é definindo uma função de conjunto $\sigma$-aditiva em uma álgebra, semianel, classe compacta, etc. e através de variantes do Teorema de Extensão de Carathéodory, estendendo essa função para a $\sigma$-álgebra gerada. A ideia é especificar o tamanho dos retângulos e obter uma medida em toda a $\sigma$-álgebra.

As famosas medidas de Gibbs, utilizadas na mecânica estatística, são especificadas de outra maneira. Do ponto de vista físico, conhecemos o comportamento da medida de probabilidade quando fixamos uma condição de contorno. Não conhecemos o tamanho dos elementos de um semianel gerador. Mas conhecemos medidas condicionais, onde o condicionamento corresponde às condições de contorno. E esperamos poder determinar distribuições de probabilidade associadas a essas medidas condicionais. Abordaremos os capítulos 1, 2 e 4 do livro do Georgii, mas o tratamento dado nessas notas enfatiza um pouco mais o ponto de vista funcional.

Sumário

1. Conceitos Básicos
   1. Medida e $\sigma$-álgebra
   2. Funções Mensuráveis e Integral
   3. Medida como Funcional
   4. Esperança Condicional
   5. Medida Condicional
   6. Diferentes Manerias de Especificar Medidas
2. Especificação com Núcleos de Probabilidade
   1. Núcleos de Probabilidade
   2. Núcleos como Operadores
   3. Composição de Núcleos
   4. Espaço de \emph{Spins}
   5. Especificações
   6. Exemplo: $\lambda_\Lambda$
   7. Existência de Medida de Gibbs
3. Especificação Gibbsiana
   1. $\lambda$-Especificação
   2. Condição de Consistência
   3. Potenciais Gibbsianos
   4. Existência de Medida de Gibbs