\documentclass[12pt]{report} \usepackage[brazil]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,epsfig,color,mathrsfs,graphicx} %%% Ajuste de Página \setlength{\hoffset}{-2cm} \setlength{\voffset}{-2cm} \setlength{\textheight}{23cm} \setlength{\textwidth}{17.5cm} %%% \pagestyle{empty} \renewcommand{\Re}{\text{Re}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\sen}{\text{sen}\,} \begin{document} %%% Cabeçalho \begin{center} \textbf{{\Large Universidade de Brasília}\\ Departamento de Matemática \\ Lista 1 - Topologia Geral.} \end{center} \vspace*{0.6cm} %%%% \noindent 1- Se $A_i\subset X$ para cada $i\in I$, prove as leis de {\it De Morgan}: \begin{align*} a)\quad & X \setminus \bigcup_{i\in I}A_i = \bigcap_{i\in I} (X\setminus A_i) \\[0.4cm] b)\quad & X \setminus \bigcap_{i\in I}A_i = \bigcup_{i\in I} (X\setminus A_i) \end{align*} \\ \noindent 2- Seja $f:X\to Y$ uma função. Dados $B\subset Y$ e $B_i\subset Y$ para cada $i\in I$, prove que: \begin{align*} a)\quad & f^{-1}\left( \bigcup_{i\in I}A_i\right) = \bigcup_{i\in I} f^{-1}\left( A_i\right) \\[0.4cm] b)\quad & f^{-1}\left( \bigcap_{i\in I}A_i\right) = \bigcap_{i\in I} f^{-1}\left( A_i\right) \\[0.5cm] c)\quad & f^{-1}(Y\setminus B ) = X\setminus f^{-1}(B). \end{align*} \\ \noindent 3- Seja $f:X\to Y$ uma função. Dados $A\subset X$ e $A_i\subset Y$ para cada $i\in I$, prove que: \begin{align*} a)\quad & f\left( \bigcup_{i\in I}A_i\right) = \bigcup_{i\in I} f\left( A_i\right) \\[0.4cm] b)\quad & f\left( \bigcap_{i\in I}A_i\right) \subset \bigcap_{i\in I} f\left( A_i\right), \quad\text{com igualdade se }f \ \text{for injetiva.} \\[0.5cm] c)\quad & f(X\setminus A ) \subset Y\setminus f(A), \quad \text{se }f \ \text{for injetiva.} \\[0.5cm] c)\quad & f(X\setminus A ) \supset Y\setminus f(A), \quad \text{se }f \ \text{for sobrejetiva.} \end{align*} \\ \noindent 4- Dê um exemplo de uma função $f:X\to Y$ e conjuntos $A_1,A_2\subset X$ tais que $f(A_1\cap A_2)\neq f(A_1)\cap f(A_2)$. \\ \noindent 5- Dê um exemplo de uma função $f:X\to Y$ e um conjunto $A\subset X$ tal que $f(X\setminus A)\neq Y\setminus f(A)$. \\ \noindent 6- Seja $f:X\to Y$ uma função. Dados $A\subset X$ e $B\subset Y$, prove que: \begin{itemize} \item[a)] $A\subset f^{-1}(f(A))$, com igualdade se $f$ for injetiva; \item[b)] $f(f^{-1}(B))\subset B$, com igualdade se $f$ for sobrejetiva. \end{itemize} \noindent 7- Dê exemplo de uma aplicação $f:X\to Y$ e um conjunto $A\subset X$ tal que $A\neq f^{-1}(f(A))$. \\ \noindent 8- Dê exemplo de uma aplicação $f:X\to Y$ e um conjunto $B\subset Y$ tal que $B\neq f(f^{-1}(B))$. \\ \noindent 9- Sejam $f:X\to Y$ e $g:Y\to X$ funções tais que $g\circ f(x)=x$, para todo $x\in X$. Mostre que $f$ é injetiva e $g$ é sobrejetiva. \\ \noindent 10- Sejam $X$ um espaço topológico e $A\subset X$. Suponha que para cada $x\in A$ existe um aberto $U$ possuindo $x$ tal que $U\subset A$. Mostre que $A$ é um aberto em $X$. \\ \noindent 11- Considere as nove topologias do conjunto $X=\{a,b,c\}$ indicadas no Exemplo 1 na página 76 do livro texto. Determine quais são comparáveis e neste caso qual é a mais fina. \\ \noindent 12- Mostre que a coleção $\mathcal{T}_c$ dada no Exemplo 4 página 77 do livro texto é uma topologia em $X$. \\ \noindent 13- A coleção \[ \mathcal{T}_{\infty} = \left\{ U\subset X\ \Big|\ (X\setminus U) \ \text{é infinito, vazio ou próprio conjunto}\ X \right\} \] é uma topologia em $X$ ? \\ \noindent 14- Seja $\{\mathcal{T}_{\alpha}\}$ é uma família de topologias em $X$. Mostre que $\bigcap\mathcal{T}_{\alpha}$ é uma topologia em $X$. Em geral, $\bigcup \mathcal{T}_{\alpha}$ é uma topologia em $X$ ? \\ \noindent 15- Seja $\{\mathcal{T}_{\alpha}\}$ é uma família de topologias em $X$. Mostre que existe uma única topologia minimal em $X$ contendo todas as coleções $\mathcal{T}_{\alpha}$ e uma única topologia maximal contida em todas $\mathcal{T}_{\alpha}$. \\ \noindent 16- Sejam $X=\{a,b,c\}$ e \[ \mathcal{T}_1=\{\emptyset,X,\{a\},\{a,b\}\} \qquad \text{e} \qquad \mathcal{T}_2=\{\emptyset,X,\{a\},\{b,c\}\}. \] Encontre a topologia minimal em $X$ contendo $\mathcal{T}_{1}$ e $\mathcal{T}_{2}$ e a topologia maximal contida em $\mathcal{T}_{1}$ e $\mathcal{T}_{2}$. \\ \noindent 17- Mostre que se $\mathcal{A}$ é uma base para uma topologia em $X$, então a topologia gerada por $\mathcal{A}$ é igual a interseção de todas as topologias em $X$ que contém $\mathcal{A}$. Prove o mesmo se $\mathcal{A}$ é uma sub-base. \\ \noindent 18- Mostre que as topologias de $\mathbb{R}_{\ell}$ e $\mathbb{R}_{K}$ não são comparáveis. \\ \break \noindent 19- Considere as seguintes topologias em $\mathbb{R}$: \begin{itemize} \item[] $\mathcal{T}_1$ = a topologia usual. \item[] $\mathcal{T}_2$ = a topologia de $\mathbb{R}_{K}$. \item[] $\mathcal{T}_3$ = a topologia dos complementos finitos. \item[] $\mathcal{T}_4$ = a topologia do limite superior, tendo todos os conjuntos $(a,b]$ como base. \item[] $\mathcal{T}_5$ = a topologia tendo todos os conjuntos $(-\infty,a)\equiv \{x\in\mathbb{R}: x