\documentclass[12pt]{report}
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%%%
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\newcommand{\sen}{\text{sen}\,}
\begin{document} 


%%% Cabeçalho
\begin{center}
\textbf{{\Large Universidade de Brasília}\\ Departamento de Matemática \\
Lista 2 - Topologia Geral.} 
\end{center}
\vspace*{0.6cm}
%%%%

\noindent
1- Considere a seguinte relação no plano dada por 
	\[
		(x_0,y_0)<(x_1,y_1)
	\]  
se $y_0-x_0^2<y_1-x_1^2$ ou $y_0-x_0^2=y_1-x_1^2$ e $x_0<x_1$.
Mostre que isto é uma relação de ordem no plano e a descreva geometricamente.
\\


\noindent
2- Mostre que a restrição de uma relação de ordem é uma relação de ordem.
\\


\noindent
3- Se $X$ e $Y$ são conjuntos ordenados por $<_{X}$ e $<_{Y}$, respectivamente.
Mostre que a ordem lexicográfica em $X\times Y$ é uma relação de ordem.
\\


\noindent
4- Seja $X$ um conjunto ordenado. Mostre que qualquer elemento $x\in X$
tem no máximo um sucessor imediato e também no máximo um predecessor imediato.
\\


\noindent
5- Seja $X$ um conjunto ordenado. Mostre que qualquer subconjunto $A\subset X$
tem no máximo um {\it menor elemento} e no máximo um {\it maior elemento}.
\\


\noindent
6- Considere o conjunto dos inteiros positivos $\mathbb{Z}_{+}$. Considere as 
seguintes relações de ordem em $\mathbb{Z}_{+}\times \mathbb{Z}_{+}$:
	\begin{itemize}
		\item[i)] Ordem lexicográfica.
		\item[ii)] $(x_0,y_0)<(x_1,y_1)$, se $x_0-y_0<x_1-y_1$ ou $x_0-y_0=x_1-y_1$ e $y_0<y_1$.
		\item[iii)] $(x_0,y_0)<(x_1,y_1)$, se $x_0+y_0<x_1+y_1$ ou $x_0+y_0=x_1+y_1$ e $y_0<y_1$.
	\end{itemize}
Nestas relações de ordem quais elementos tem predecessores imediatos ? Em quais destas
ordens $\mathbb{Z}_{+}\times \mathbb{Z}_{+}$ tem um menor elemento ? Mostre que as três ordens
acima, são de tipos diferentes.
\\


\noindent
7- Prove o seguinte afirmação: Um conjunto ordenado $X$ tem a propriedade do supremo 
se, e somente se, $X$ tem a propriedade do ínfimo.
\\

\noindent 
8- Se $C$ é uma relação em um conjunto $X$, defina uma nova relação $D$ em $X$
onde $(b,a)\in D$ se $(a,b)\in C$. 
	\begin{itemize}
		\item[i)] Mostre que $C$ é simétrica se, e somente se, $C=D$.
		\item[ii)] Mostre que se $C$ é uma relação de ordem então $D$ também é uma relação de ordem.
		\item[iii)] Prove a recíproca no exercício 6 usando estes fatos.
	\end{itemize}



%% FIM DA PAGINA
\break
%% 




\noindent 
9- Assuma que $\mathbb{R}$ tem a propriedade do supremo. 
	Mostre que os conjuntos:
			\begin{itemize}
				\item[a)] $[0,1]=\{x\in\mathbb{R}: 0\leq x\leq 1\}$.
				\item[b)] $[0,1)=\{x\in\mathbb{R}: 0\leq x < 1\}$.
			\end{itemize}  
	têm a propriedade do supremo.
\\



\noindent 
10- O conjunto $[0,1]\times [0,1]$ com a ordem lexicográfica tem a propriedade do
supremo ? Neste sentido o que pode ser dito sobre conjunto $[0,1]\times [0,1)$ ? E quanto a $[0,1)\times [0,1]$ ? 




\section*{Ordem Parcial} 

{\bf Definição}(Ordem Parcial). 
Uma relação $P$ em um conjunto $X$ 
é chamada de relação de {\it ordem parcial} em $X$
se $P$ satisfaz as seguintes propriedades:
\begin{itemize}
	\item[i)] (Reflexiva) $xPx$ para todo $x\in X$.
	\item[ii)] (Anti-simétrica) Se $xPy$ e $yPx$ então $x=y$.
	\item[iii)] (Transitiva) Se $xPy$ e $yPz$, então $xPz$.
\end{itemize}
Neste caso dizemos que $X$ é um {\it \bf conjunto parcialmente ordenado}. 
É comum denotar a ordem parcial $P$ em $X$ por $\preceq$.
\\[0.3cm]


\noindent
{\bf Definição}(Ordem total). 
Uma relação $P$ em um conjunto $X$ 
é chamada de relação de {\it ordem total} em $X$ se $P$ é uma relação 
de ordem parcial e também satisfaz a propriedade 
\begin{itemize}
	\item[iv)] (Comparabilidade) dados quaisquer $x,y\in X$ ou $xPy$ ou $yPx$.
\end{itemize}
Neste caso dizemos que $X$ é um {\it \bf conjunto totalmente ordenado} e 
também é comum denotar a relação de ordem total $P$ por $\preceq$.
\\[0.3cm]


\noindent
{\bf Exemplo}. Seja $X$ um conjunto arbitrário. A relação de {\bf inclusão}
é uma relação de ordem parcial em $\mathcal{P}(X)$ (conjunto das partes de $X$). 
\\[0.3cm]



\noindent
{\bf Exemplo}. A relação de ordem usual em $\mathbb{R}$ é uma relação de ordem total.



\break

\noindent
{\bf Definição}. Sejam $X$ um conjunto parcialmente ordenado com relação de ordem parcial 
$\preceq$ e $A\subset X$.
\begin{itemize}
	\item[a)] Se existir $a\in A$ tal que $a\preceq x$ para todo $x\in A$, dizemos 
				que $a$ é o {\it menor elemento} de $A$. Analogamente definimos o {\it maior elemento}.
				
	\item[b)] Se existir $a\in A$ tal que se $x\in A$ e $x\preceq a$ implica $x=a$, dizemos que
				$a$ é um {\it elemento minimal} de $A$. Analogamente definimos elemento maximal.
				
	\item[c)] Se existir $b\in X$ tal que $b\preceq a$ para todo $a\in A$, dizemos que
				$b$ é uma {\it cota inferior} de $A$ e que $A$ é {\it limitado inferiormente}. 
				Analogamente definimos {\it cota superior} e conjunto limitado superiormente.

	\item[d)]  Dizemos que $A\subset X$ é uma {\bf cadeia} em $X$ se $A$ é totalmente ordenado
				sob a relação de ordem parcial induzida por $X$. 

	\item[e)]  Dizemos que $A\subset X$ é {\bf bem ordenado} se todo subconjunto não vazio
				de $A$ possui menor elemento.  
		 
\end{itemize}


\noindent
{\bf Exemplo}. O conjunto dos inteiros positivos, $\mathbb{Z}_{+}$, com a ordem usual é bem ordenado.
\\[0.3cm]
\noindent
{\bf Exemplo}. O conjunto $\mathbb{R}$ dos números reais é totalmente ordenado,
				mas não é bem ordenado: se $a<b$ o intervalo aberto $(a,b)$ não possui menor elemento.
\\[0.3cm]



\noindent 
{\bf Lema}.(Lema de Zorn). Seja $X$ um conjunto parcialmente ordenado não vazio tal que 
toda cadeia em $X$ é limitada superiormente. Então $X$ possui pelo menos um elemento 
maximal, isto é, existe $m\in X$ tal que se $m\preceq x$ para algum $x\in X$ então $x=m$.
\\[0.3cm]



\noindent 
{\bf Teorema}.(Teorema de Zermelo). Para qualquer conjunto $X$ 
é possível construir uma relação de ordem parcial $\preceq$ em $X$
tal que $X$ é um conjunto bem ordenado. 
\\[0.3cm]



\noindent
{\bf Teorema 1}. São equivalente:
\begin{itemize}
	\item Axioma da escolha.
	\item Lema de Zorn.
	\item Teorema de Zermelo.
\end{itemize}
\vspace*{1cm}




\noindent 
11- Seja $X=\{ n\in\mathbb{Z}_{+}: n\geq 2\}$. Dados $m,n\in X$, dizemos que 
	$m\preceq n$ se $m$ divide $n$.
	
	\begin{itemize}
		\item[i)]   Prove que a relação $\preceq$ definida acima é uma relação de ordem parcial em $X$.
		\item[ii)]  Prove que, dada uma cada cadeia $A\subset X$ e um elemento $n\in A$, existe apenas
					um número finito de elementos $n_1,\ldots,n_k\in A$ que dividem $n$.
		\item[iii)] Prove que toda cadeia $A$ em $X$ é limitada inferiormente.
		\item[iv)]	Identifique os elementos minimais de $X$. 		 
	\end{itemize}



%%% QUEBRA DE PÁGINA
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%%%


\noindent 
12- Seja $V$ um espaço vetorial não trivial. Usando o Lema de Zorn prove que 
cada subconjunto linearmente independente de $V$ está contido em alguma base 
de $V$.
\\





\noindent 
13- Sejam $V$ e $W$ espaços vetoriais sobre o mesmo corpo, seja 
$Z$ subespaço vetorial de $V$ e $T:Z\to W$ uma aplicação linear. 
Use o Lema de Zorn para provar a existência de uma aplicação linear
$F:V\to W$ que é uma extensão de $T$, isto é, $F(v)=T(v)$ para todo 
$v\in Z$. 
\\



\noindent 
14- Seja $A$ um anel comutativo com unidade. 
Um conjunto $I\subset A$ é chamado de ideal se as seguintes condições são 
satisfeitas:
\begin{itemize}
	\item[i)] $x-y\in I$ para todo $x,y\in I$.
	\item[ii)] $xy\in I$ para todo $x\in I$ e $y\in A$.
\end{itemize} 
Um ideal $I\neq A$ é chamado de {\it ideal próprio}. Um ideal
próprio que não está contido em nenhum outro ideal próprio é 
chamado de {\it ideal maximal}. Use o Lema de Zorn para provar 
que cada ideal próprio de $A$ está contido em algum ideal 
maximal. 


\end{document}