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\begin{document} 


%%% Cabeçalho
\begin{center}
\textbf{{\Large Universidade de Brasília}\\ Departamento de Matemática \\
Lista 4 - Topologia Geral.} 
\end{center}
\vspace*{0.6cm}
%%%%

\noindent
1- Seja $\mathcal{C}$ uma coleção de subconjuntos de $X$. Suponha que 
$\emptyset$ e $X$ pertençam a $\mathcal{C}$ e que uniões finitas e interseções 
arbitrárias de elementos de $\mathcal{C}$ estejam em $\mathcal{C}$. Mostre que 
a coleção 
	\[ 
		\mathcal{T} = \{ X-C: C\in \mathcal{C}  \}
	\]
é uma topologia em $X$.
\\







\noindent
2- Mostre que se $A$ é um fechado de $Y$ e $Y$ é fechado em $X$, 
então $A$ é fechado em $X$.
\\






\noindent
3- Mostre que se $A$ é um fechado de $X$ e $B$ é fechado em $Y$, 
então $A\times B$ é fechado em $X\times Y$.
\\







\noindent
4- Mostre que se $U$ é um aberto em $X$ e $A$ é fechado em $X$, 
então $U-A$ é um aberto em $X$ e $A-U$ é um fechado em $X$.
\\








\noindent
5- Seja $X$ um conjunto ordenado e considere a topologia da ordem em $X$.
Mostre que $\overline{(a,b)}\subset [a,b]$. Sobre quais condições podemos 
garantir que vale a igualdade ?
\\










\noindent
6- Sejam $A,B$ e $A_{\alpha}$ subconjuntos de $X$. Prove que:
	\begin{itemize}
		\item[i)] Se $A\subset B$ então $\overline{A}\subset \overline{B}$.
		\item[ii)] $\overline{A\cup B} = \overline{A}\cup \overline{B}$.
		\item[iii)] $\bigcup \overline{A_{\alpha}}\subset \overline{\bigcup A_{\alpha}}$.
	\end{itemize}





\noindent
7- Critique a seguinte ``prova'' que 
$\overline{\bigcup A_{\alpha}}  \subset \bigcup \overline{A_{\alpha}}$.
Se $A_{\alpha}$ é uma coleção de conjuntos de $X$ e se $x\in \overline{\bigcup A_{\alpha}}$,
então toda vizinhança $U$ de $x$ intercepta $\bigcup A_{\alpha}$. Assim $U$ deve interceptar
algum $A_{\alpha}$, logo $x$ pertence ao fecho de algum $A_{\alpha}$ e portanto 
$x\in \bigcup \overline{A_{\alpha}}$.
\\





\noindent 
8- Sejam $A,B$ e $A_{\alpha}$ subconjuntos de $X$. Determine quais das seguintes identidades são
verdadeiras. Caso não seja determine se algum tipo de inclusão (``$\subset$'' ou ``$\supset$'' )  é válida 
nos seguintes itens:
	\begin{itemize}
		\item[i)] $\overline{A\cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}$.
		\item[ii)] $\overline{\bigcap A_{\alpha}} = \bigcap \overline{A_{\alpha}}$.
		\item[iii)] $\overline{A-B} = \overline{A}-\overline{B}$. 
	\end{itemize}







\noindent 
9- Sejam $A\subset X$ e $B\subset Y$. Mostre que no espaço $X\times Y$ temos 
	\[
		\overline{A\times B} = \overline{A} \times \overline{B}.
	\]
\\







\noindent 
10- Mostre que a topologia da ordem é Hausdorff.
\\





\noindent 
11- Mostre que o produto cartesiano de dois espaços de Hausdorff é um espaço de Hausdorff.
\\





\noindent 
12- Mostre que o subespaço de um espaço de Hausdorff é Hausdorff.
\\




\noindent 
13- Mostre que $X$ é Hausdorff se, e somente se, a diagonal 
   \[
   	 \Delta \equiv \{ x\times x: x\in X\}
   \]
é fechado em $X \times X$.
\\






\noindent 
14- Na topologia do complemento finito em $\mathbb{R}$ para qual ou quais pontos 
a sequência $x_n= 1/n$ converge ?
\\





\noindent 
15- Mostre que o axioma $T_1$ é equivalente a condição que para cada par de pontos 
de $x,y\in X$, existem vizinhanças destes pontos que não contém o outro ponto.
\\





\noindent 
16- Considere as cinco topologias em $\mathbb{R}$ dadas no Exercício 19 da Lista 1.
	\begin{itemize}
		\item[i)] Determine o fecho do conjunto $K = \{1/n : n\in\mathbb{Z}_{+}\}$
					em cada uma destas topologias.
					
		\item[ii)] Quais destas topologias satisfaz o axioma de Hausdorff? Quais 
					satisfazem o axioma $T_1$ ? 
	\end{itemize}








\noindent 
17- Considere a topologia do limite inferior em $\mathbb{R}$ e a topologia 
	gerada pela base $\mathcal{C}$ do exercício 21 da Lista 1. Determine o fecho 
	dos intervalos $A=(0,\sqrt{2})$ e $B=(\sqrt{2},3)$ nestas duas topologias.
\\







\noindent
18- Determine o fecho dos seguintes subconjuntos do quadrado $[0,1]\times[0,1]$ 
com a topologia da ordem lexicográfica:
	\begin{itemize}
		\item[] $A=\{ 1/n\times 0: n\in\mathbb{Z}_{+}\}$.
		\item[] $B=\{ (1-1/n)\times 1/2: n\in\mathbb{Z}_{+}\}$.
		\item[] $C=\{ x\times 0: 0<x<1\}$.
		\item[] $D=\{ x\times 1/2: 0<x<1\}$.
		\item[] $E=\{ 1/2\times x: 0<y<1\}$.
	\end{itemize}




\end{document}