\documentclass[12pt]{report} \usepackage[brazil]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,epsfig,color,mathrsfs,graphicx} %%% Ajuste de Página \setlength{\hoffset}{-2cm} \setlength{\voffset}{-2cm} \setlength{\textheight}{23cm} \setlength{\textwidth}{17.5cm} %%% \pagestyle{empty} \renewcommand{\Re}{\text{Re}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\sen}{\text{sen}\,} \begin{document} %%% Cabeçalho \begin{center} \textbf{{\Large Universidade de Brasília}\\ Departamento de Matemática \\ Lista 5 - Topologia Geral.} \end{center} \vspace*{0.6cm} %%%% \noindent 1- Prove que para funções reais $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que a definição por $\varepsilon-\delta$ implica na definição por abertos. \\ \noindent 2- Suponha que $f:X\to Y$ é contínua. Se $x$ é um ponto de acumulação do subconjunto $A\subset X$ é necessariamente verdadeiro que $f(x)$ é um ponto de acumulação de $f(A)$ ? \\ \noindent 3- Sejam $\mathcal{T}$ e $\mathcal{T}'$ duas topologias em $X$. Denote estes espaços por $X$ e $X'$, respectivamente. Seja $i:X\to X'$ a função identidade. \begin{itemize} \item[a)] Mostre que $i$ é contínua se, e somente se, $\mathcal{T}'$ é mais fina que $\mathcal{T}$. \item[b)] Mostre que $i$ é um homeomorfismo se, e somente se, $\mathcal{T}'=\mathcal{T}$. \end{itemize} \noindent 4- Dados $x_0\in X$ e $y_0\in Y$, mostre que as aplicações $f:X\to X\times Y$ e $g:Y\to X\times Y$ definidas por $f(x)=x\times y_0$ e $g(y)=x_0\times y$ são imersões. \\ \noindent 5- Mostre que o subespaço $(a,b)\subset \mathbb{R}$ é homeomorfo a $(0,1)\subset \mathbb{R}$ e também que $[a,b]\subset \mathbb{R}$ é homeomorfo a $[0,1]\subset \mathbb{R}$. \\ \noindent 6- Encontre uma função $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que é contínua em exatamente um ponto. \\ \noindent 7- Suponha que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ é contínua a direita, isto é, \[ \lim_{x\to a^+}f(x) = f(a) \] para todo $a\in\mathbb{R}$. Mostre que $f$ é uma função contínua, quando vista como função de $\mathbb{R}_{\ell}$ para $\mathbb{R}$. \\ \noindent 8- Você poderia conjecturar quais funções $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ são contínuas quando consideradas como funções de $\mathbb{R}$ para $\mathbb{R}_{\ell}$ ? Como aplicações de $\mathbb{R}_{\ell}$ para $\mathbb{R}_{\ell}$ ?\\ (Esta questão será abordada novamente em listas futuras). \\ \noindent 9- Seja $Y$ um conjunto ordenado e considere a topologia da ordem em $Y$. Sejam $f,g:X\to Y$ funções contínuas. \begin{itemize} \item[i)] Mostre que o conjunto $\{x\in X: f(x)\leq g(x)\}$ é fechado em $X$. \item[ii)] Seja $h:X\to Y$ uma função dada por $h(x)=\min\{f(x),g(x)\}$. Mostre que $h$ é contínua. \\(Dica: use o lema da ``colagem''.) \end{itemize} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Quebra de Página \break %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \noindent 10- Seja $\{A_{\alpha}\}$ uma coleção de subconjuntos de $X$ e suponha que $X=\cup_{\alpha}A_{\alpha}$. Seja $f:X\to Y$ uma função tal que $f|_{A_{\alpha}}$ seja contínua para cada $\alpha$. \begin{itemize} \item[i)] Mostre que se a coleção $\{A_{\alpha}\}$ é finita e cada conjunto $A_{\alpha}$ é fechado, então $f$ é contínua. \item[ii)] Encontre exemplo de uma coleção enumerável $\{A_{\alpha}\}$, onde cada $A_{\alpha}$ é fechado, mas $f$ não é contínua. \item[iii)] Uma família de conjuntos $\{A_{\alpha}\}$ é dita ser {\bf localmente finita} se cada ponto $x\in X$ tem uma vizinhança $U$ que intercepta no máximo uma quantidade finita de conjuntos $A_{\alpha}$'s. Mostre que se a família $\{A_{\alpha}\}$ é localmente finita e cada $A_{\alpha}$ é fechado, então $f$ é contínua. \end{itemize} \noindent 11- Sejam $f:A\to B$ e $g:C\to D$ funções contínuas. Defina a aplicação $f\times g: A\times C\to B\times D$ por \[ (f\times g)(a,c)= f(a)\times g(c). \] Mostre que $f\times g$ é contínua. \\ \noindent 12- Seja $F:X\times Y\to Z$ uma função. Dizemos que $F$ é {\bf contínua em cada variável separadamente}, se para cada $y_0\in Y$ fixado a aplicação $h:X\to Z$ dada por $h(x)=F(x\times y_0)$ é contínua e também para cada $x_0$ em $X$ a aplicação $k:Y\to Z$ definida por $k(y)=F(x_0\times y)$ é contínua. Mostre que se $F$ é contínua, então $F$ é contínua em cada variável separadamente. \\ \noindent 13- Seja $F:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por \[ F(x,y) = \begin{cases} \displaystyle\frac{xy}{x^2+y^2}, &\text{se}\ x\times y\neq 0\times 0; \\ 0, &\text{caso contrário}. \end{cases} \] \begin{itemize} \item[i)] Mostre que $F$ é contínua em cada variável separadamente; \item[ii)] Obtenha a expressão explícita da função $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $g(x)=F(x\times x)$. \item[iii)] Mostre que $F$ não é contínua. \end{itemize} \noindent 14- Sejam $A\subset X$ e $f:A\to Y$ uma aplicação contínua e suponha que $Y$ é um espaço de Hausdorff. Mostre que se $f$ pode ser estendida a uma função contínua $g:\overline{A}\to Y$, então $g$ é unicamente determinada por $f$. \\ \noindent 15- Seja $\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in J}$ uma família de espaços topológicos. Prove que se a topologia de $X_{\alpha}$ é dada por uma base $\mathcal{B}_{\alpha}$ então a coleção de todos os conjuntos da forma \[ \prod_{\alpha\in J} B_{\alpha}, \] onde $B_{\alpha}\in \mathcal{B}_{\alpha}$ para todo $\alpha\in J$, é uma base para a topologia ``box'' em $\prod_{\alpha} X_{\alpha}$. \\ \noindent 16- Seja $\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in J}$ uma família de espaços topológicos. Prove que se a topologia de $X_{\alpha}$ é dada por uma base $\mathcal{B}_{\alpha}$ então a coleção de todos os conjuntos da forma \[ \prod_{\alpha\in J} B_{\alpha}, \] onde $B_{\alpha}\in \mathcal{B}_{\alpha}$ e $B_{\alpha}=X_{\alpha}$ a menos de um conjunto finito de índices, é uma base para a topologia produto em $\prod_{\alpha} X_{\alpha}$. \\ \noindent 17- Sejam $\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in J}$ uma família de espaços topológicos e $A_{\alpha}$ subespaço de $X_{\alpha}$ para cada $\alpha\in J$. Prove que $\prod_{\alpha} A_{\alpha}$ é um subespaço de $\prod_{\alpha} X_{\alpha}$ se em ambos produtos cartesianos consideramos a topologia ``box''. Prove que o resultado também é verdadeiro se em ambos produtos consideramos a topologia produto. \\ \noindent 18- Sejam $\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in J}$ uma família de espaços de Hausdorff. Prove que $\prod_{\alpha} X_{\alpha}$ também é um espaço de Hausdorff em ambas topologias ``box'' e produto. A recíproca é verdadeira para as duas topologias no espaço produto ? \\ \noindent 19- Mostre que $(X_1\times\ldots\times X_{n-1})\times X_{n}$ é homeomorfo a $X_1\times\ldots\times X_n$. \\ \noindent 20- Qual das implicações do Teorema 19.6 do livro é válida também para a topologia ``box'' ? \\ \noindent 21- Seja $x^1,x^2,\ldots $ uma sequência de pontos em $\prod_{\alpha\in J} X_{\alpha}$. Mostre que se esta sequência converge para um ponto $x\in \prod_{\alpha\in J} X_{\alpha}$ se, e somente se, a sequência $\pi_{\alpha}(x^1),\pi_{\alpha}(x^2),\ldots$ converge para $\pi_{\alpha}(x)$ para cada $\alpha\in J$. Este fato contínua sendo verdadeiro se consideramos a topologia ``box'' em $\prod_{\alpha\in J} X_{\alpha}$ ? \\ \noindent 22- Seja $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}_{0}$ o subconjunto de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ dado por \[ \mathbb{R}^{\mathbb{N}}_{0} = \{ (x_1,x_2,\ldots)\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}: x_i\neq 0\ \text{para no máximo uma quantidade finita de índices}\ i \} \] Qual é o fecho de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}_{0}$ na topologia produto e na topologia ``box'' ? \\ \noindent 23- Sejam $(a_1,a_2,\ldots)$ e $(b_1,b_2,\ldots)$ elementos de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ com $a_i>0$ para todo $i\in\mathbb{N}$. Considere a aplicação $h:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ dada por \[ h\big((x_1,x_2,\ldots)\big)=(a_1x_1+b_1,\ a_2x_2+b_2,\ldots) \] Mostre que se consideramos $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ munido da topologia produto então $h$ é um homeomorfismo. Podemos dizer o mesmo se munimos $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ da topologia ``box'' ? \\ \noindent 24- Mostre que o axioma da escolha é equivalente a seguinte afirmação: dada uma família de conjuntos não vazios $X_{\alpha}$ com $\alpha\in J$, então o produto cartesiano $\prod_{\alpha\in J} X_{\alpha}\neq \emptyset$. \\ %%%%%%%%%%%%%%%%%%% QUEBRA DE PAGINA \break %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \noindent 25- Sejam $A$ um conjunto, $\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in J}$ uma família de espaços topológicos e $\{f_{\alpha}\}_{\alpha\in J}$ uma família de funções $f_{\alpha}:A\to X_{\alpha}$. \begin{itemize} \item[i)] Mostre que existe uma única topologia mais grossa $\mathcal{T}$ em $A$ na qual todas as funções $f_{\alpha}$ são contínuas. \item[ii)] Para cada $\beta\in J$ seja $S_{\beta}=\{f^{-1}_{\beta}(U_{\beta}): U_{\beta}\ \text{é um aberto em}\ X_{\beta} \}$. Mostre que a coleção $S=\cup_{\alpha\in J} S_{\alpha}$ é uma subbase para $\mathcal{T}$. \item[ii)] Mostre que uma aplicação $g:Y\to A$ é contínua relativamente a $\mathcal{T}$ se, e somente se, cada aplicação $f_{\alpha}\circ g$ é contínua. \item[iv)] Seja $f:A\to \prod_{\alpha\in J}X_{\alpha}$ uma função dada por $f(a)=(f_{\alpha}(a))_{\alpha\in J}$. Denote por $Z$ o subespaço $f(A)$ do produto cartesiano $\prod_{\alpha\in J} X_{\alpha}$. Mostre que a imagem direta por $f$ de cada elemento de $\mathcal{T}$ é um aberto de $Z$. \end{itemize} \end{document}