\documentclass[12pt]{report} \usepackage[brazil]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,epsfig,color,mathrsfs,graphicx} %%% Ajuste de Página \setlength{\hoffset}{-2cm} \setlength{\voffset}{-2cm} \setlength{\textheight}{23cm} \setlength{\textwidth}{17.5cm} %%% \pagestyle{empty} \renewcommand{\Re}{\text{Re}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\sen}{\text{sen}\,} \begin{document} %%% Cabeçalho \vspace*{-1.6cm} \begin{center} \textbf{{\Large Universidade de Brasília}\\ Departamento de Matemática \\ Lista 6 - Topologia Geral.} \end{center} %%%% \noindent 1- Para $x,y\in\mathbb{R}^n$ defina $d'(x,y)=|x_1-y_1|+\ldots+|x_n-y_n|$. Mostre que $d'$ é uma métrica e além do mais que a topologia induzida por ela coincide com a topologia produto. Para $n=2$, faça um esboço de um elemento genérico da base da topologia induzida por esta métrica. \\ \noindent 2- Fixe $p\geqslant 1$ e para cada par $x,y\in\mathbb{R}^n$ defina \[ d_p'(x,y)= \Big[ |x_1-y_1|^p+\ldots+|x_n-y_n|^p \Big]^{\frac{1}{p}}. \] Assuma que $d'_p$ define uma métrica em $\mathbb{R}^n$. Prove que ela induz a topologia usual em $\mathbb{R}^n$. Mostre que para todo par $x,y\in\mathbb{R}^n$, existe $\lim_{p\to\infty} d'_{p}(x,y)\equiv d_{\infty}(x,y)$. Conclua que $d_{\infty}$ coincide com a métrica induzida pela norma do máximo. \\ \noindent 3- Mostre que $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ com a topologia induzida pela ordem lexicográfica é um espaço topológico metrizável. \\ \noindent 4- Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Considere $X$ como um espaço topológico com a topologia induzida pela métrica $d$ e $X\times X$ um espaço topológico munido da topologia produto. Mostre que a função $d:X\times X\to\mathbb{R}$ é contínua. \\ \noindent 5- Seja $(X,\mathcal{T})$ um espaço topológico e considere $X\times X$ como um espaço topológico munido da topologia produto. Suponha que $d:X\times X\to \mathbb{R}$ seja um métrica em $X$. Mostre que se $d$ é uma função contínua então a topologia $\mathcal{T}$ é mais fina que a topologia induzida por $d$. \begin{center} \begin{minipage}{14cm} {\it Em outras palavras, se $d$ é uma métrica em $X$ então a topologia induzida por $d$ é a topologia mais grossa para o qual $d$ é uma função contínua. } \end{minipage} \end{center} \vspace*{0.6cm} \noindent 6- Considere as topologias produto, uniforme e ``box'' em $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$. \begin{itemize} \item[i)] Em quais destas topologias as seguintes funções de $\mathbb{R}$ para $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ são contínuas ? \begin{itemize} \item[] $f(t)=(t,2t,3t,\ldots)$ \item[] $g(t)=(t,t,t,\ldots)$ \item[] $h(t)=(t,t/2,t/3,\ldots)$. \end{itemize} \item[ii)] Em quais destas topologias as seguintes sequências convergem ? \[ \begin{array}{ll} w_1=(1,1,1,1,\ldots)\qquad &\qquad x_1=(1,1,1,1,\ldots) \\ w_2=(0,2,2,2,\ldots) &\qquad x_2=(0,1/2,1/2,1/2,\ldots) \\ w_3=(0,0,3,3,\ldots) &\qquad x_3=(0,0,1/3,1/3,\ldots) \\ \qquad\cdots &\qquad \qquad\cdots \\ y_1=(1,0,0,0,\ldots) &\qquad z_1=(1,1,0,0,\ldots) \\ y_2=(1/2,1/2,0,0\ldots) &\qquad z_2=(1/2,1/2,0,0,\ldots) \\ y_3=(1/3,1/3,1/3,0\ldots) &\qquad z_3=(1/3,1/3,0,0,\ldots) \\ \qquad\cdots &\qquad \qquad\cdots \end{array} \] \end{itemize} \noindent 7- Seja $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}_{0}$ o subconjunto de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ dado por \[ \mathbb{R}^{\mathbb{N}}_{0} = \{ (x_1,x_2,\ldots)\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}: x_i\neq 0\ \text{para no máximo uma quantidade finita de índices}\ i \} \] Qual é o fecho de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}_{0}$ na topologia uniforme ? \\ \noindent 8- Seja $\bar{\rho}$ a métrica uniforme em $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$. Dados $\varepsilon>0$ e $x=(x_1,x_2,\ldots)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ seja \[ U(x,\varepsilon) = (x_1-\varepsilon,x_1+\varepsilon)\times\ldots\times(x_n-\varepsilon,x_n+\varepsilon)\times\ldots \] \begin{itemize} \item[i)] Mostre que $U(x,\varepsilon)$ não é igual a bola $B_{\bar{\rho}}(x,\varepsilon)$; \item[ii)] Mostre que $U(x,\varepsilon)$ nem sequer é aberto na topologia uniforme; \item[iii)] Mostre que \( B_{\bar{\rho}}(x,\varepsilon) = \displaystyle \bigcup_{\delta<\varepsilon} U(x,\delta). \) \end{itemize} \noindent 9- Considere a aplicação $h:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ dada por \[ h\big((x_1,x_2,\ldots)\big)=(a_1x_1+b_1,\ a_2x_2+b_2,\ldots). \] Suponha que $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ está munido da topologia uniforme. Sobre quais condições nos números $a_i$'s e $b_i$'s $h$ é contínua ? Homeomorfismo ? \\ \noindent 10- Denote por $\ell^2(\mathbb{N})$ o subconjunto de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ consistindo de todas as sequências de quadrado somável, isto é, $x=(x_1,x_2,\ldots)\in\ell^2 \Longleftrightarrow \sum_{i\in\mathbb{N}} x^2_i<\infty$. Assuma que a fórmula \[ d(x,y) = \left[ \sum_{i=1}^{\infty} (x_i-y_i)^2 \right]^{\frac{1}{2}} \] define uma métrica em $\ell^2(\mathbb{N})$. Em $\ell^2(\mathbb{N})$ podemos induzir as topologias, produto, uniforme e ``box'' de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$. Temos também a topologia induzida por $d$, que vamos chamar de topologia-$\ell^2$. \begin{itemize} \item[i)] Mostre que em $\ell^2(\mathbb{N})$ temos \[ \text{topologia uniforme}\quad \subset \quad \text{topologia-}\ell^2 \quad \subset \quad \text{topologia ``box''} \] \item[ii)] Mostre que $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}_0\subset \ell^2(\mathbb{N})$. Mostre que as quatro topologias que $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}_0$ herda de $\ell^2(\mathbb{N})$ são distintas. \item[iii)] Mostre que o {\it cubo de Hilbert}, denotado por $H$ e dado por \[ H \equiv \prod_{n\in\mathbb{Z}_{+}} [0,1/n] \] está contido em $\ell^2(\mathbb{N})$. Compare as quatro topologias que $H$ herda de $\ell^2(\mathbb{N})$. \end{itemize} \break \noindent 11- Neste exercício apresentamos um roteiro para mostrar que a métrica euclidiana $d$ em $\mathbb{R}^n$ é de fato uma métrica. Para isto vamos considerar em $\mathbb{R}^n$ sua estrutura natural de espaço vetorial sobre $\mathbb{R}$, onde a soma de dois vetores $x,y\in\mathbb{R}^n$ é dada por $x+y=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)$, multiplicação por um escalar $\alpha\in \mathbb{R}$ é dada por $\alpha x=(\alpha x_1,\ldots,\alpha x_n)$ e produto interno entre dois vetores de $\mathbb{R}^n$ é definido por $\langle x,y\rangle =x_1y_1+\ldots+x_ny_n$. O roteiro é composto dos quatro passos descritos abaixo: % % % \begin{itemize} \item[i)] Mostre que $\langle x,y+z\rangle= \langle x,y\rangle + \langle x,z\rangle$; \item[ii)] Mostre que $|\langle x,y\rangle| \leqslant \|x\|\cdot \|y\|$ \\ (dica: se $x,y\neq 0$ considere $\alpha=1/\|x\|$ e $\beta=1/\|y\|$ e use o fato que $\|\alpha x\pm \beta y\|\geqslant 0$); \item[iii)] Mostre que $\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|$; \\ (dica: calcule $\langle x+y,x+y\rangle$ e aplique o resultado do item anterior); \item[iv)] Conclua que $d$ é uma métrica. \end{itemize} \noindent 12- Neste exercício, divido em três partes, vamos mostrar que a expressão $d(x,y)$ que aparece no Exercício 10, define uma função de $\ell^2(\mathbb{N})\times \ell^2(\mathbb{N})$ em $\mathbb{R}$ e que $d$ é de fato uma métrica em $\ell^2(\mathbb{N})$. % % \begin{itemize} \item[i)] Mostre que se $x,y\in\ell^2(\mathbb{N})$, então $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}|x_i \cdot y_i|<\infty$; \\ (dica: use o segundo item do Ex. 11 para mostrar que as somas parciais são limitadas) \item[ii)] Seja $\alpha\in\mathbb{R}$. Mostre que se $x,y\in\ell^2(\mathbb{N})$ então $x+y$ e $\alpha\cdot x$ estão em $\ell^2(\mathbb{N})$. \item[iii)] Mostre que $ d(x,y) = \displaystyle\left[ \sum_{i=1}^{\infty} (x_i-y_i)^2 \right]^{\frac{1}{2}} $ é uma métrica bem definida em $\ell^2(\mathbb{N})$. \end{itemize} \noindent 13- Mostre que se $d$ é uma métrica em $X$ então \[ d'(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} \] é uma métrica limitada em $X$ que induz a mesma topologia que $d$. \\ (dica: considere a função $f(x)=x/(1+x)$ para $x>0$, e aplique o Teorema do Valor Médio para concluir que $f(a+b)-f(b)\leqslant f(a)$.) \\ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% QUEBRA DE PÁGINA \break %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \noindent 14- Considere o produto cartesiano $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$. Mostre que para todo par $x,y\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ a fórmula \[ d(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|x_n-y_n|}{2^n} \] define uma métrica limitada em $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$. \\ \noindent 15- Considere o produto cartesiano $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$. Defina a função $d':\{0,1\}^{\mathbb{N}}\times \{0,1\}^{\mathbb{N}}\to \mathbb{R}$ por $d'(x,x)=0$ para todo $x\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ e para $x\neq y\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ defina \[ d'(x,y) = \frac{1}{2^{n}}, \quad \text{onde}\ n=\min\{i\in\mathbb{N}: x_i\neq y_i\}. \] Mostre que $d'$ é uma métrica limitada em $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$. \\ \noindent 16- Considerando as métricas $d$ e $d'$ definidas nos Exercícios 14 e 15 mostre que existem constantes positivas $K$ e $M$ tais que para todo $x, y\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}$, temos \[ K\cdot d'(x,y) \leqslant d(x,y) \leqslant M\cdot d'(x,y). \] \noindent 17- Seja $d'$ a métrica definida no Exercício 15. Mostre que coleção de todas as bolas abertas $B_{d'}(x,\varepsilon)$, onde $x\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ e $\varepsilon>0$ é uma subbase da topologia produto (daqui em diante, considere $\{0,1\}$ como espaço topológico com a topologia discreta). Conclua que a métrica $d'$ induz a topologia produto em $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$. \\ \noindent 18- Usando os Exercícios 16 e 17 conclua que a métrica $d$ definida no Exercício 14 induz a topologia produto em $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$. Tente fazer uma prova direta deste fato. \\ \noindent 19- Seja $d'$ a métrica definida Exercício 15, dados quaisquer $x\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ e $\varepsilon>0$ mostre que bola $B_{d'}(x,\varepsilon)$ é ao mesmo tempo um aberto e fechado da topologia produto de $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$. \\ \noindent 20- Mostre que o conjunto formado por um ponto no espaço $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ não é um conjunto aberto na topologia produto. Conclua que a topologia produto não é a topologia discreta. \\ (Observe que cada fator $\{0,1\}$ está munido da topologia discreta, mas mesmo assim a topologia produto não é a topologia discreta! Note porém que obtemos a topologia discreta se o número de fatores no produto cartesiano é finito.) \\ \noindent 21- Mostre que o shift $\sigma: \{0,1\}^{\mathbb{N}}\to \{0,1\}^{\mathbb{N}}$, dado por $\sigma(x_1,x_2,x_3,\ldots)=(x_2,x_3,\ldots)$ é uma aplicação contínua. O shift é uma aplicação aberta ? Fechada ? Homeomorfismo ? \\ \noindent 22- Seja $\sigma:\{0,1\}^{\mathbb{N}}\to \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ o shift definido no Exercício 21. Para cada $n\in\mathbb{Z}_{+}$ denotamos por $\sigma^{(n)} \equiv \sigma\circ\sigma\circ\ldots\circ\sigma$, a composição sucessiva da aplicação $\sigma$ com si mesma $n$ vezes. A órbita de um ponto $x\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ pelo shift é definida como sendo o conjunto $\mathcal{O}(x)\equiv \{\sigma^{(n)}(x): n\in\mathbb{Z}_{+}\}\cup\{x\}$. Determine explicitamente um ponto $x^*\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ tal que o fecho da orbita de $x^*$, pelo shift, é todo o espaço $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$, isto é, \[ \overline{\mathcal{O}(x^*)}=\{0,1\}^{\mathbb{N}}. \] \end{document}