\documentclass[12pt]{report} \usepackage[brazil]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,epsfig,color,mathrsfs,graphicx} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% DIAGRAMAS \usepackage{amscd} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{matrix,arrows,decorations.pathmorphing} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % %%% Ajuste de Página \setlength{\hoffset}{-2cm} \setlength{\voffset}{-2cm} \setlength{\textheight}{23cm} \setlength{\textwidth}{17.5cm} %%% \pagestyle{empty} \renewcommand{\Re}{\text{Re}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\sen}{\text{sen}\,} \begin{document} %%% Cabeçalho \vspace*{-1.6cm} \begin{center} \textbf{{\Large Universidade de Brasília}\\ Departamento de Matemática \\ Lista 7 - Topologia Geral.} \end{center} %%%% \noindent 1- Seja $A\subset X$. Se $d$ é uma métrica para a topologia de $X$, mostre que $d|{A\times A}$ é uma métrica para a topologia subespaço induzida em $A$. \\ \noindent 2- Sejam $X$ e $Y$ espaços métricos com métricas $d_X$ e $d_Y$, respectivamente. Uma função $f:X\to Y$ é chamada de isometria se para todo par de pontos $x,y\in X$ temos $d_Y(f(x),f(y))=d_X(x,y)$. Mostre que toda isometria é uma imersão. \\ \noindent 3- Para cada $n\in\mathbb{Z}_{+}$ seja $(X_n,d_n)$ um espaço métrico. \begin{itemize} \item[i)] Mostre que $\rho(x,y)=\max\{d_1(x_1,y_1),\ldots d_n(x_n,y_n)\}$ é uma métrica em $X_1\times\ldots\times X_n$. \item[ii)] Seja $\bar{d}_n=\min\{d_n,1\}$. Mostre que $D(x,y)=\sup\left\{\displaystyle\frac{\bar{d}_n(x,y)}{n}\right\}$ é uma métrica em $\displaystyle\prod_{n\in \mathbb{Z}_{+}} X_{n}$ \end{itemize} \noindent 4- Seja $X$ um conjunto e $f_n:X\to \mathbb{R}$ uma sequência de funções. Seja $\bar{\rho}$ a métrica uniforme em $\mathbb{R}^X$. Mostre que a sequência $(f_n)$ converge uniformemente para uma função $f:X\to\mathbb{R}$ se, e somente se, $f_n$ converge para $f$ como elementos do espaço métrico $(\mathbb{R}^X,\bar{\rho})$. \\ \noindent 5- Seja $X$ um espaço topológico e $Y$ um espaço métrico. Seja $f_n:X\to Y$ uma sequência de funções contínuas. Seja $x_n$ uma sequência de pontos de $X$ que converge para $x$. Mostre que se a sequência $(f_n)$ converge uniformemente para $f$ então $(f_n(x_n))$ converge para $f(x)$. \\ \noindent 6- Considere a sequência de funções $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por \( f_n(x)=\frac{1}{n^3[x-1/n]^2+1}. \) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FIGURA --- Gráfico da funçao fn % % \begin{figure}[h] \begin{center} \includegraphics[scale=0.55]{grafico1-Lista7.pdf} \caption{Esboço do gráfico de $f_{10}$.} \end{center} \end{figure} % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\ Mostre que $f_n(x)\to 0$ para todo $x\in\mathbb{R}$ e que esta convergência não é uniforme. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% QUEBRA DE PÁGINA \break %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \noindent 7- Usando a formulação de continuidade por fechados, mostre que os seguintes subconjuntos de $\mathbb{R}^2$ são fechados: \begin{itemize} \item[] $A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: xy=1\}$; \item[] $S^1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2=1\}$; \item[] $\overline{B(0,1)}= \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2\leqslant 1\}$; \end{itemize} \noindent 8- Seja $p:X\to Y$ uma aplicação contínua. Se existe uma aplicação contínua $f:Y\to X$ tal que $p\circ f = Id_Y$ ($Id_Y$ é a identidade em $Y$) mostre que $p$ é um mapa quociente. \\ \noindent 9- Se $A\subset X$, uma {\bf retração} de $X$ em $A$ é uma aplicação contínua $r:X\to A$ tal que $r(a)=a$ para todo $a\in A$. Mostre que uma retração é um mapa quociente. \\ \noindent 10- Sejam $\pi_1:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ a projeção na primeira coordenada e $A$ o subespaço de $\mathbb{R}^2$ consistindo de todos os pontos $(x,y)$ tais que $x\geqslant 0$ ou $y=0$ (ou ambos). Seja $q:A\to \mathbb{R}$ a restrição de $\pi_1$ ao conjunto $A$. Mostre que $q$ é um mapa quociente que não é nem aberto nem fechado. \\ \noindent 11- Defina uma relação de equivalência no plano $X=\mathbb{R}^2$ da seguinte maneira: $(x_0,y_0)\sim (x_1,y_1)$ se $x_0+y_0^2=x_1+y_1^2$. Seja $X^*$ o espaço quociente correspondente a esta relação de equivalência. Este espaço é homeomorfo a algum espaço familiar, qual ? \\ (Dica: considere a função $g(x,y)=x+y^2$). \\ \noindent 12- Como no exercício anterior, vamos considerar uma relação de equivalência no plano $X=\mathbb{R}^2$ desta vez dada por $(x_0,y_0)\sim (x_1,y_1)$ se $x_0^2+y_0^2=x_1^2+y_1^2$. Seja $X^*$ o espaço quociente correspondente a esta relação de equivalência. A qual espaço familiar $X^*$ é homeomorfo ? \\ \noindent 13- Mostre que aplicação $\pi:\{0,1\}^{\mathbb{N}}\to [0,1]$, dada abaixo é contínua \[ \pi( (x_1,x_2,x_3,\ldots)) = \frac{x_1}{2}+\frac{x_2}{2^2}+\frac{x_3}{2^3}+\ldots+\frac{x_n}{2^n}+\ldots \] \noindent 14- Sejam $\sigma:\{0,1\}^{\mathbb{N}}\to\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ a aplicação shift definida na Lista 6 e $f:[0,1]\to [0,1]$ a função dada por $f(x)= 2x\ (\text{mod}\ 1)$, com $f(1/2)=0$ e $f(1)=0$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FIGURA --- Gráfico da Double-Mapping % % \begin{figure}[h] \begin{center} \includegraphics[scale=0.45]{Double-Mapping.pdf} \caption{Esboço do gráfico da aplicação $f(x)= 2x\ (\text{mod}\ 1)$.} \end{center} \end{figure} % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\ \begin{itemize} \item[i)] Encontre os pontos fixos de $\sigma$, isto é, o conjunto $\text{fix}(\sigma)\equiv\{x\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}: \sigma(x)=x)\}$. \item[ii)] Considere a aplicação $\pi$ definida no Exercício 13. Use o conjunto $\text{fix}(\sigma)$ para mostrar que o seguinte diagrama {\bf NÃO } é comutativo \[ \begin{CD} \{0,1\}^{\mathbb{N}} @>\sigma>> \{0,1\}^{\mathbb{N}}\\ @VV\pi V @VV \pi V\\ [0,1] @>f >> [0,1] \end{CD} \] \end{itemize} \noindent 15- Seja $X=[0,1]$ considere a relação de equivalência ``$\sim$'' em $X$ dada por: \[ x\sim x' \ \ \text{se}\ \ \ \begin{cases} x=x',\text{ou}\\ x=0\ \text{e}\ x'=1, \text{ou}\\ x'=0\ \text{e}\ x=1. \end{cases} \] Seja $X^*$ o espaço quociente, definido pela relação de equivalência $\sim$ e pelo mapa quociente $p:X\to X^*$, que leva cada ponto em sua classe. Assuma que a aplicação $g:[0,1]\to S^1$, dada por $g(x)=\exp(2\pi i x)$ é um mapa quociente (vamos provar isto mais a frente usando compacidade). Mostre que $X^*$ é homeomorfo a $S^1$. \\ (dica: use os resultados apresentados em sala de aula para completar o diagrama.) \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1.5] \node (A) at (0,1) {$X$}; \node (C) at (0,0) {$X^*$}; \node (D) at (1,0) {$S^1$}; \path[->,font=\scriptsize,>=angle 90] (A) edge node[left]{$p$} (C) (A) edge node[above]{$g$} (D) (C) edge node[below]{$??$} (D); \end{tikzpicture} \end{center} \noindent 16- Seja $\sigma$ o shift no espaço $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$. Defina a aplicação $\pi:\{0,1\}^{\mathbb{N}}\to S^1$ por \[ \pi((x_1,x_2,x_3\ldots)) = \exp\left[ 2\pi i \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{2^n} \right]. \] Se $f:S^1\to S^1$ é dada por $f(z)=z^2$. Mostre que o seguinte diagrama é comutativo \[ \begin{CD} \{0,1\}^{\mathbb{N}} @>\sigma>> \{0,1\}^{\mathbb{N}}\\ @VV\pi V @VV \pi V\\ S^1 @>f >> S^1 \end{CD} \] %%%%%%%%%%%%%%%%%%% QUEBRA DE PÁGINA \break %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \noindent 17- Seja $f:X\to X$ uma função e denote por $f^{(n)}$ a $n$-ésima iterada de $f$. Dizemos que $x_0\in X$ é um ponto periódico para $f$ se existe $n_0\in\mathbb{N}$ tal que $x_0=f^{(n_0)}(x_0)$. Denotamos por $\text{per}(f)$ o conjunto de todos seus pontos periódicos. \begin{itemize} \item[i)] Considere $X=S^1$ e $f(z)=z^2$. Mostre que o fecho de $\text{per}(f)$ é todo $S^1$. \\ (dica: há basicamente duas maneiras de fazer isto: ou você resolve uma equação polinomial (simples) de grau $2n$, ou usa o Exercício 16 junto com a seguinte observação; pontos periódicos de $\sigma$ são levados por $\pi$ em pontos periódicos de $f$). \item[ii)] O conjunto dos pontos pré-periódicos para $f$ é definido como sendo conjunto \[ \bigcup_{n=1}^{\infty} f^{(-n)}(\text{per}(f)). \] Mostre que existem infinitos pontos pré-periódicos para $f(z)=z^2$ que não são periódicos. \\ (dica: use a dica do item anterior pensando em pré-periódicos ao invés de periódicos). \end{itemize} \end{document}