\documentclass[12pt]{report} \usepackage[brazil]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,epsfig,color,mathrsfs,graphicx} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% DIAGRAMAS \usepackage{amscd} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{matrix,arrows,decorations.pathmorphing} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % %%% Ajuste de Página \setlength{\hoffset}{-2cm} \setlength{\voffset}{-2cm} \setlength{\textheight}{23cm} \setlength{\textwidth}{17.5cm} %%% \pagestyle{empty} \renewcommand{\Re}{\text{Re}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\sen}{\text{sen}\,} \begin{document} %%% Cabeçalho \vspace*{-1.6cm} \begin{center} \textbf{{\Large Universidade de Brasília}\\ Departamento de Matemática \\ Lista 8 - Topologia Geral.} \end{center} %%%% \noindent 1- Mostre que nenhum dos seguintes espaços são homeomorfos um ao outro: $(0,1), (0,1]$ e $[0,1]$. (dica: o que acontece quando removemos alguns pontos destes espaços ?) \\ \noindent 2- Sejam $f:X\to Y$ e $g:Y\to X$ imersões. Mostre que, sem hipóteses adicionais, não é possível concluir que $X$ é homeomorfo a $Y$. \\ \noindent 3- Mostre que $\mathbb{R}^n$ e $\mathbb{R}$ não são homeomorfos se $n>1$. \\ \noindent 4- Seja $f:S^1\to\mathbb{R}$ uma aplicação contínua. Mostre que existe pelo menos um ponto $x\in S^1$ tal que $f(x)=f(-x)$. \\ \noindent 5- Mostre que toda aplicação contínua $f:[0,1]\to [0,1]$ possui pelo menos um ponto fixo. O que pode ser dito se substituímos $[0,1]$ por $[0,1)$ ou $(0,1)$ ? \\ \noindent 6- Seja $X$ um espaço ordenado com a topologia da ordem. Mostre que se $X$ é conexo então $X$ é um {\it continuum linear}. \\ \noindent 7- Mostre que se $X$ é um conjunto bem-ordenado, então $X\times [0,1)$ na ordem do dicionário é um {\it continuum linear}. \\ \noindent 8- Sejam $X$ e $Y$ conjuntos ordenados munidos da topologia da ordem. Mostre que se $f:X\to Y$ é uma função sobrejetiva que preserva ordem, então $f$ é um homeomorfismo. \\ \noindent 9- Seja $f:\overline{\mathbb{R}_{+}}\to \overline{\mathbb{R}_{+}}$ dada por $f(x)=x^n$, onde $n\in\mathbb{Z}_{+}$. Mostre que $f$ é sobrejetiva e que preserva ordem. Conclua que sua função inversa, i.e., a raíz $n$-ésima é uma função contínua. \\ \noindent 10- O produto cartesiano de dois espaços conexos por caminho é conexo por caminho ? \\ \noindent 11- Suponha que $A\subset X$ e que $A$ é conexo por caminho. É verdade que $\overline{A}$ é conexo por caminho ? \\ \noindent 12- Se $f:X\to Y$ é contínua e $X$ é conexo por caminho, então podemos concluir que $f(X)$ é conexo por caminho ? \\ \noindent 13- Se $\{A_{\alpha}\}$ é uma coleção de conjuntos conexos por caminho de um espaço $X$ e a interseção $\bigcap A_{\alpha}\neq \emptyset$, então podemos afirmar que $\bigcup A_{\alpha}$ é necessariamente conexo por caminho ? \\ \noindent 14- Assuma que $\mathbb{R}$ é não enumerável. Mostre que se $A\subset \mathbb{R}^2$ é enumerável então $\mathbb{R}^2-A$ é conexo por caminho. \\ (dica: olhe para a quantidade de retas que passam por um ponto de $\mathbb{R}^2$) \\ \noindent 15- Mostre que se $U$ é um subespaço conexo de $\mathbb{R}^2$, então $U$ é conexo por caminho. (dica: mostre que o conjunto de pontos que podem ser ligados por um caminho a um ponto $x_0\in U$ fixado, é aberto e fechado em $U$.) \break \noindent 16- Se $A$ é um subespaço conexo de $X$, então $int(A)$ e $\partial A\equiv\overline{A}-int(A)$ são conexos ? É válida a recíproca ? \\ \noindent 17- Sejam $\mathcal{T}$ e $\mathcal{T}'$ duas topologias em um conjunto $X$. Suponha que $\mathcal{T}\subset \mathcal{T}'$. A compacidade de $X$ em uma destas topologias implica em compacidade na outra ? \\ \noindent 18- Mostre que se $X$ é um espaço de Hausdorff compacto com respeito as topologias $\mathcal{T}$ e $\mathcal{T}'$, então ou ambas topologias não são comparáveis ou são iguais. \\ \noindent 19- Mostre que na topologia do complemento finito em $\mathbb{R}$ todo subespaço é compacto. \\ \noindent 20- Se $\mathbb{R}$ tem a topologia consistindo de todos os conjuntos $A$ tais que $\mathbb{R}-A$ é enumerável ou todo $\mathbb{R}$ o conjunto $[0,1]$ é compacto ? \\ \noindent 21- Mostre que uma união finita de subespaços compactos de $X$ é compacto. \\ \noindent 22- Mostre que todo subespaço compacto de um espaço métrico é limitado e fechado. Encontre um espaço no qual nem todo limitado e fechado é compacto. \\ \noindent 23- Sejam $A$ e $B$ dois compactos disjuntos de um espaço de Hausdorff $X$. Mostre que existem dois abertos disjuntos $U$ e $V$ contendo $A$ e $B$, respectivamente. \\ \noindent 24- Seja $X$ um espaço compacto e $Y$ Hausdorff. Mostre que se $f:X\to Y$ é contínua, então $f$ é uma aplicação fechada. \\ \noindent 25- Mostre que se $Y$ é compacto, então a projeção $\pi_1:X\times Y \to X$ é uma aplicação fechada. \\ \noindent 26- Demonstre o seguinte teorema. Seja $f:X\to Y$, onde $Y$ é um espaço de Hausdorff compacto. Então $f$ é contínua se, e somente se, o gráfico de $f$ \[ G_f = \{(x,f(x))\in X\times Y: x\in X\} \] é fechado em $X\times Y$. \\ (dica: Se $G_f$ e $V$ é uma vizinhança de $f(x_0)$ então a interseção de $G_f$ e $X\times(Y-V)$ é fechado. Aplique o Exercício 25.) \end{document}