\documentclass[12pt]{paper}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,epsfig,color,graphicx}
\usepackage{hyperref}
\setlength{\hoffset}{-2.1cm}
\setlength{\textheight}{33cm}
\setlength{\textwidth}{18cm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\pagestyle{empty}
\renewcommand{\Re}{\text{Re}}
\renewcommand{\Im}{\text{Im}}
\newcommand{\sen}{\text{sen}\,}
%%
\newtheorem{teorema}{Teorema}
\newtheorem{proposicao}[teorema]{Proposição}
\newtheorem{lema}[teorema]{Lema}
\newtheorem{definicao}[teorema]{Definição}
\newtheorem{corolario}[teorema]{Corolário}
\newtheorem{exemplo}[teorema]{Exemplo}
\newtheorem{exercicio}{Exercício}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
%% Comandos para editar em cores
%
%
\definecolor{Red}{cmyk}{0,1,1,0}
\def\red{\color{Red}}
\definecolor{Blue}{cmyk}{1,1,0,0}
\def\blue{\color{Blue}}
\newcommand{\cqd}{\nopagebreak\hfill\fbox{ }}

\begin{document} 
%%
%%
%%
%%
%%
%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LOGO UnB
\begin{figure}[t!]
	\centering
	\vspace*{-3.2cm}
	%\hspace*{6.5cm}
	\includegraphics[scale=0.38,keepaspectratio=true]{logo-unb-editado1.pdf}
	% logo-unb-editado1.pdf: 302x26 pixel, 72dpi, 10.65x0.92 cm, bb=0 0 302 26
	\label{fig:logomarca}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CABEÇALHO 
\begin{center}
   \vspace*{-1.2cm}{\Large Departamento de Matematica} \\
  Prova 1 - Topologia Geral\\
  Data: 27/01/2014 - Horário:08:00 às 11:30h.\\
  {\bf Valor : 100 pontos.}
\end{center}
\vspace{1cm}
Nome:\ \underline{\hspace{12cm}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Inicio documento
\vspace*{1cm} 
\noindent 
1- (10 pts.) Dê um exemplo de um espaço topológico $(X,\mathcal{T})$, onde $\mathcal{T}$ 
é diferente da topologia trivial, $1<\# X<\infty$ e $(X,\mathcal{T})$ não é um espaço de Hausdorff.
\\






\noindent 
2- (20 pts.) Mostre que se $\mathcal{A}$ é uma base para uma topologia em $X$, então a topologia 
gerada por $\mathcal{A}$ é igual a interseção de todas as topologias em $X$ que contém 
$\mathcal{A}$.
\\








\noindent
3- (10 pts.) Se $X$ e $Y$ são conjuntos ordenados por $<_{X}$ e $<_{Y}$, respectivamente.
Mostre que a ordem lexicográfica em $X\times Y$ é uma relação de ordem.
\\









\noindent
4- (20 pts.) Uma aplicação $f:X\to Y$ é chamada de aplicação aberta
se para todo aberto $U$ de $X$ o conjunto $f(U)$ é um aberto em Y.
Mostre que as projeções $\pi_1:X\times Y\to X$ e $\pi_2:X\times Y\to Y$
são aplicações abertas.  
\\











\noindent
5- (10 pts.) Sejam $f:X\to Y$ uma função e $Y$ um espaço topológico com uma topologia 
$\mathcal{T}$ fixada.
\vspace*{-0.4cm}
     \begin{itemize}
           \item[a)] Qual é a topologia mais fina em $X$ para o qual $f$ é contínua.
\vspace*{-0.4cm}
           \item[b)] Qual é a topologia mais grossa em $X$ para o qual $f$ é contínua.
     \end{itemize}
\vspace*{0.4cm}










\noindent 
6- (20 pts.) Seja $\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in J}$ uma família de espaços de Hausdorff,
onde $J$ é um conjunto de índices arbitrário.
Prove que $\displaystyle\prod_{\alpha\in J} X_{\alpha}$ também é um espaço de Hausdorff 
na topologia produto. 
\\











\noindent 
7- (10 pts) Mostre que $X$ é Hausdorff se, e somente se, a diagonal 
   \(
   	 \Delta \equiv \{ x\times x: x\in X\}
   \)
é fechada em $X \times X$.
\end{document}