\documentclass[12pt]{paper}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,epsfig,color,graphicx}
\usepackage{mathrsfs}
%\usepackage{hyperref}
\setlength{\hoffset}{-2.1cm}
%\setlength{\textheight}{33cm}
\setlength{\textwidth}{18cm}
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\pagestyle{empty}
\renewcommand{\Re}{\text{Re}}
\renewcommand{\Im}{\text{Im}}
\newcommand{\sen}{\text{sen}\,}
%%
\newtheorem{teorema}{Teorema}
\newtheorem{proposicao}[teorema]{Proposição}
\newtheorem{lema}[teorema]{Lema}
\newtheorem{definicao}[teorema]{Definição}
\newtheorem{corolario}[teorema]{Corolário}
\newtheorem{exemplo}[teorema]{Exemplo}
\newtheorem{exercicio}{Exercício}
%% Comandos para editar em cores
%
%
\definecolor{Red}{cmyk}{0,1,1,0}
\def\red{\color{Red}}
\definecolor{Blue}{cmyk}{1,1,0,0}
\def\blue{\color{Blue}}
\newcommand{\cqd}{\nopagebreak\hfill\fbox{ }}

%%%%%%%%%%%%% INICIO - Alguns Comandos Úteis
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}



\begin{document} 
%%
%%
%%
%%
%%
%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LOGO UnB
\begin{figure}[t!]
	\centering
	\vspace*{-3.4cm}
	%\hspace*{6.5cm}
	\includegraphics[scale=0.38,keepaspectratio=true]{logo-unb-editado1.pdf}
	% logo-unb-editado1.pdf: 302x26 pixel, 72dpi, 10.65x0.92 cm, bb=0 0 302 26
	\label{fig:logomarca}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CABEÇALHO 
\begin{center}
   \vspace*{-1.0cm}{\Large Departamento de Matemática} \\
  Prova 2 - Probabilidade e Teoria da Medida\\
  Data: 23/10/2014 - Horário:14:00 às 16:00h.\\
  {\bf Valor : 100 pontos.}
\end{center}
\vspace{1cm}
Nome:\ \underline{\hspace{12cm}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Inicio documento
\vspace*{1cm} 
\noindent 
1- (15 pts.) 
Sejam $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$
um espaço de probabilidade e $X:\Omega\to\mathbb{R}$
uma variável aleatória.
Seja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ uma função Borel mensurável tal 
que $\mathbb{E}[f(X)]<+\infty$.
Se $\mu:\mathscr{B}(\mathbb{R})\to [0,1]$
denota a distribuição de $X$, isto é,  
para todo $B\in \mathscr{B}(\mathbb{R})$ temos 
$\mu(B)=\mathbb{P}(X^{-1}(B))$. Prove que 
\[
	\mathbb{E}[f(X)]
	=
	\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x).
\]






\noindent 
2- (10 pts.) 
Calcule o seguinte limite 
\[
\lim_{n\to\infty}
\int_{[0,1]} \frac{n\text{sen}\, x}{1+n^2\sqrt{x}}
\, dx.
\]

\vspace*{0.2cm}






 

\noindent 
3- (25 pts.) 
Seja $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade.
Suponha que $X$ é uma variável aleatória tal que $\mathbb{E}[|X|^p]<+\infty$
para todo $p\geq 1$. Mostre que:
	\begin{itemize}
	\item[i)] 
	para todo $p\geq 1$ e $x\geq 0$ temos 
	\(
		x^p = p \int_{0}^{x} y^{p-1} \, dy;
	\)
	\item[ii)] 
	para todo $p\geq 1$ 
	\[
		\mathbb{E}|X|^p 
		= 
		p\int_{0}^{\infty} y^{p-1} \P(\{|X|>y\})\, dy.
	\]
	\end{itemize}
\vspace*{0.3cm}











\noindent 
4- (20 pts.) 
Sejam $(\Omega,\F,\P)$ um espaço de probabilidade e 
$\mathscr{B}$ uma sub-$\sigma$-álgebra de $\F$.
Prove que para quaisquer variáveis aleatórias 
limitadas $X$ e $Y$ que 
	\[
	\mathbb{E}[Y\cdot \mathbb{E}[X|\mathscr{B}]]
	=
	\mathbb{E}[X\cdot \mathbb{E}[Y|\mathscr{B}]].
	\]
\vspace*{0.3cm}




\noindent 
5 (30 pts.) 
Seja $k$ um inteiro positivo e 
$\Omega=\{0,1,2,\ldots,k-1\}^{\mathbb{N}}$. 
Seja $\mathcal{F}$ a $\sigma$-álgebra gerada 
pelas v.a.'s $\{X_n\}$, onde para 
cada $n\in\mathbb{N}$ e $\omega=(\omega_1,\omega_2,\ldots)$ 
a v.a. $X_n$ é definida por $X_n(\omega)=\omega_n$. 
Sejam $\nu$ uma medida de probabilidade definida no conjunto das partes
de $\{0,1,2,\ldots,k-1\}$ e $\P = \prod_{i\in\mathbb{N}}\nu$ 
a medida produto obtida através do Teorema da Extensão de Kolmogorov.
Considere a aplicação $\sigma:\Omega\to\Omega$ 
dada pelo ``shift'' para esquerda, isto é, 
	\(
		\sigma(\omega_1,\omega_2,\omega_3,\ldots)
		=
		(\omega_2,\omega_3,\omega_4,\ldots).
	\) 
Mostre que:
\begin{itemize}
	\item[i)]
	$\P$ é invariante pelo ``shift'', isto é, 
	para todo $E\in\mathcal{F}$ temos que 
		\(
		\mathbb{P}(\sigma^{-1}(E)) = \mathbb{P}(E);
		\) 
	
	\item[ii)]
	$\{X_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ é uma sequência independente;
	
	
	\item[iii)]
	se $E\in\mathcal{F}$ é tal que $\sigma^{-1}(E)=E$,
	então $\mathbb{P}(E)\in\{0,1\}$.
	\end{itemize}
\vspace*{0.3cm}














\end{document}