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%% Comandos para editar em cores
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\begin{document} 
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LOGO UnB
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	%\hspace*{6.5cm}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CABEÇALHO 
\begin{center}
   \vspace*{-1.2cm}{\Large Departamento de Matematica} \\
  Prova 3 - Topologia Geral\\
  Data: 21/02/2014 - Horário:08:00 às 11:30h.\\
  {\bf Valor : 100 pontos.}
\end{center}
\vspace{1cm}
Nome:\ \underline{\hspace{12cm}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Inicio documento
\vspace*{1cm} 
\noindent 
1- (30 pts.) 
Seja $X$ um espaço topológico.
Seja $\mathcal{D}$ uma coleção de subconjuntos
de $X$ que é maximal com respeito a propriedade da
interseção finita.

\begin{itemize}
	\item[a)] Mostre que $x\in \overline{D}$ para todo 
	          $D\in \mathcal{D}$ se, 
				e somente se, toda vizinhança de $x$ pertence
				a coleção $\mathcal{D}$.
				Qual implicação usa a maximalidade de $\mathcal{D}$ ?
	\item[b)] Seja $D\in\mathcal{D}$ mostre que se $A\supset D$, então $A\in\mathcal{D}$.
	\item[c)] Mostre que se $X$ é Haussdorf então existe no máximo um ponto 
				pertencente a 
				$$\bigcap_{D\in\mathcal{D}}\overline{D}.$$
\end{itemize}












\noindent
2- (30 pts.) 
Já vimos que o Axioma da Escolha implica o Teorema de Tychonoff. 
Seguindo os passos abaixo mostre que o Teorema de Tychonoff 
implica no Axioma da Escolha.
\\[0.3cm]
Seja $X_{\alpha}$ com $\alpha\in J$ uma família de espaços não vazios e
{\bf assuma que vale o Teorema de Tychonoff}.
\begin{itemize}
	\item[a)] Seja $\{\Lambda\}$ um conjunto unitário não vazio que não está contido em nenhum
				$X_{\alpha}$. 
			  Considere a família de espaços $Y_{\alpha}=X_{\alpha}\cup\{\Lambda\}$.
			  Para todo $\alpha\in J$ considere a seguinte
			  topologia $\tau_{\alpha}=\{\emptyset,X_{\alpha},\{\Lambda\},Y_{\alpha}\}$ em $Y_{\alpha}$.
			  Mostre que $(Y_{\alpha},\tau_{\alpha})$ é compacto.
	\item[b)] Para cada $\alpha\in J$ seja 
			  $Z_{\alpha}=\pi_{\alpha}^{-1}(X_{\alpha})$, onde $\pi_{\alpha}:\prod_{\beta\in J} Y_{\beta}\to Y_{\alpha}$ é a projeção na
			  $\alpha$-ésima coordenada. Mostre que $Z_{\alpha}$ é fechado em
			  $\displaystyle\prod_{\alpha\in J} Y_{\alpha}$.
			  
	\item[c)] Seja $F\subset J$ um subconjunto finito. 
				Mostre que 
				\[
					\bigcap_{\alpha\in F}Z_{\alpha} 
					= 
					\prod_{\alpha\in F}X_{\alpha}\times \prod_{\alpha\in J\setminus F}Y_{\alpha}.
				\]
				 Agora escolha $x_{\alpha}\in X_{\alpha}$
				(aqui não precisamos do axioma da escolha!) para cada $\alpha\in F$,
				em seguida para cada $\alpha\in J\setminus F$ ponha $x_{\alpha}=\Lambda$.
				Conclua que a interseção acima é não vazia e que a família $Z_{\alpha}$ tem 
				a propriedade da interseção finita.
	\item[d)] Argumente que $\displaystyle\prod_{\alpha\in J} Y_{\alpha}$ é compacto, mostre 
			 que $\displaystyle\bigcap_{\alpha\in J}Z_{\alpha}= \prod_{\alpha\in J} X_{\alpha}$
			 e conclua que vale o axioma da escolha.
\end{itemize}






\break





\noindent
3- (20 pts) Dê uma prova direta do Lema de Urysohn para um espaço métrico 
$(X,d)$ usando a função 
	\[
		f(x)=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}
	\]
 












\noindent
4- (20 pts) Denote por $M_{n}(\mathbb{R})$ o conjunto de todas as matrizes de tamanho 
$n\times n$ com entradas reais. Sejam $\text{Det}:M_{n}(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$
a função determinante e $\tau$ a topologia mais grossa em $M_{n}(\mathbb{R})$ 
na qual a função determinante 
é contínua. Mostre que o conjunto das matrizes inversíveis é um conjunto 
aberto e não é conexo.



\end{document}