\documentclass[12pt]{report}
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\newcommand{\sen}{\text{sen}\,}
\begin{document} 


%%% Cabeçalho
\begin{center}
\textbf{{\Large Universidade de Brasília}\\ Departamento de Matemática \\
Lista 1 - Topologia Geral.} 
\end{center}
\vspace*{0.6cm}
%%%%

\noindent
1- Se $A_i\subset X$ para cada $i\in I$, prove as leis de {\it De Morgan}:
\begin{align*}
	a)\quad & X \setminus \bigcup_{i\in I}A_i = \bigcap_{i\in I} (X\setminus A_i)
	\\[0.4cm]
	b)\quad & X \setminus \bigcap_{i\in I}A_i = \bigcup_{i\in I} (X\setminus A_i)
\end{align*} 
\\


\noindent
2- Seja $f:X\to Y$ uma função. Dados $B\subset Y$ e $B_i\subset Y$ para cada $i\in I$,
prove que: 
\begin{align*}
	a)\quad & f^{-1}\left( \bigcup_{i\in I}A_i\right) = \bigcup_{i\in I} f^{-1}\left( A_i\right)
	\\[0.4cm]
	b)\quad & f^{-1}\left( \bigcap_{i\in I}A_i\right) = \bigcap_{i\in I} f^{-1}\left( A_i\right)
	\\[0.5cm]
	c)\quad & f^{-1}(Y\setminus B ) 	= X\setminus f^{-1}(B).
\end{align*}
\\




\noindent
3- Seja $f:X\to Y$ uma função. Dados $A\subset X$ e $A_i\subset Y$ para cada $i\in I$,
prove que: 
\begin{align*}
	a)\quad & f\left( \bigcup_{i\in I}A_i\right) = \bigcup_{i\in I} f\left( A_i\right)
	\\[0.4cm]
	b)\quad & f\left( \bigcap_{i\in I}A_i\right) \subset \bigcap_{i\in I} f\left( A_i\right),
	\quad\text{com igualdade se }f \ \text{for injetiva.}
	\\[0.5cm]
	c)\quad & f(X\setminus A ) \subset Y\setminus f(A),
	\quad \text{se }f \ \text{for injetiva.}
	\\[0.5cm]
	c)\quad & f(X\setminus A ) \supset Y\setminus f(A),
	\quad \text{se }f \ \text{for sobrejetiva.}
\end{align*}
\\




\noindent
4- Dê um exemplo de uma função $f:X\to Y$ e conjuntos $A_1,A_2\subset X$
tais que $f(A_1\cap A_2)\neq f(A_1)\cap f(A_2)$.
\\



\noindent
5- Dê um exemplo de uma função $f:X\to Y$ e um conjunto $A\subset X$
tal que $f(X\setminus A)\neq Y\setminus f(A)$.
\\



\noindent
6- Seja $f:X\to Y$ uma função. Dados $A\subset X$ e $B\subset Y$, prove que: 
\begin{itemize}
	\item[a)] $A\subset f^{-1}(f(A))$, com igualdade se $f$ for injetiva;
	\item[b)] $f(f^{-1}(B))\subset B$, com igualdade se $f$ for sobrejetiva.
\end{itemize}



\noindent
7- Dê exemplo de uma aplicação $f:X\to Y$ e um conjunto $A\subset X$ tal que  
$A\neq  f^{-1}(f(A))$.
\\



\noindent
8- Dê exemplo de uma aplicação $f:X\to Y$ e um conjunto $B\subset Y$ tal que  
$B\neq  f(f^{-1}(B))$.
\\


\noindent
9- Sejam $f:X\to Y$ e $g:Y\to X$ funções tais que $g\circ f(x)=x$, para todo $x\in X$.
Mostre que $f$ é injetiva e $g$ é sobrejetiva.
\\



\noindent
10- Sejam $X$ um espaço topológico e $A\subset X$. Suponha que para cada $x\in A$
existe um aberto $U$ possuindo $x$ tal que $U\subset A$. Mostre que $A$ 
é um aberto em $X$.
\\




\noindent
11- Considere as nove topologias do conjunto $X=\{a,b,c\}$ indicadas no Exemplo 1
na página 76 do livro texto. Determine quais são comparáveis e neste caso qual é a
mais fina.
\\



\noindent
12- Mostre que a coleção $\mathcal{T}_c$ dada no Exemplo 4 página 77 do livro texto
é uma topologia em $X$.
\\





\noindent
13- A coleção 
\[
	\mathcal{T}_{\infty} 
		= \left\{ 
				U\subset X\ \Big|\  (X\setminus U) \ \text{é infinito, vazio ou próprio conjunto}\ X
		  \right\} 
\]
é uma topologia em $X$ ?
\\




\noindent
14- Seja $\{\mathcal{T}_{\alpha}\}$ é uma família de topologias em $X$. Mostre que 
$\bigcap\mathcal{T}_{\alpha}$ é uma topologia em $X$. Em geral, $\bigcup \mathcal{T}_{\alpha}$
é uma topologia em $X$ ?
\\




\noindent
15- Seja $\{\mathcal{T}_{\alpha}\}$ é uma família de topologias em $X$. 
Mostre que existe uma única topologia minimal em $X$ contendo todas as coleções
$\mathcal{T}_{\alpha}$ e uma única topologia maximal contida em todas $\mathcal{T}_{\alpha}$.
\\


\noindent
16- Sejam $X=\{a,b,c\}$ e 
\[
	\mathcal{T}_1=\{\emptyset,X,\{a\},\{a,b\}\}
	\qquad
	\text{e}
	\qquad
	\mathcal{T}_2=\{\emptyset,X,\{a\},\{b,c\}\}.
\] 
Encontre a topologia minimal em $X$ contendo $\mathcal{T}_{1}$ e $\mathcal{T}_{2}$
e a topologia maximal contida em $\mathcal{T}_{1}$ e $\mathcal{T}_{2}$.
\\





\noindent
17- Mostre que se $\mathcal{A}$ é uma base para uma topologia em $X$, então a topologia 
gerada por $\mathcal{A}$ é igual a interseção de todas as topologias em $X$ que contém 
$\mathcal{A}$. Prove o mesmo se $\mathcal{A}$ é uma sub-base. 
\\




\noindent
18- Mostre que as topologias de $\mathbb{R}_{\ell}$ e $\mathbb{R}_{K}$ não são comparáveis. 
\\



\break



\noindent
19- Considere as seguintes topologias em $\mathbb{R}$:
\begin{itemize}
	\item[] $\mathcal{T}_1$ = a topologia usual.
	\item[] $\mathcal{T}_2$ = a topologia de $\mathbb{R}_{K}$.
	\item[] $\mathcal{T}_3$ = a topologia dos complementos finitos.
	\item[] $\mathcal{T}_4$ = a topologia do limite superior, tendo todos os conjuntos $(a,b]$ como base.
	\item[] $\mathcal{T}_5$ = a topologia tendo todos os conjuntos $(-\infty,a)\equiv \{x\in\mathbb{R}: x<a\}$ 
			como base.
\end{itemize}
Determine para cada uma destas topologias acima quais são as outras que ela contém.
\\





\noindent
20- Aplique o Lema 13.2 (página 80) para mostrar que a coleção enumerável
\[
	\mathcal{B}=\{ (a,b)\subset \mathbb{R}: a,b\in\mathbb{Q}\ \text{e}\ a<b\}
\]
é uma base que gera a topologia usual de $\mathbb{R}$.
\\




\noindent
21- Mostre que a coleção
\[
	\mathcal{C}=\{ [a,b)\subset \mathbb{R}: a,b\in\mathbb{Q}\ \text{e}\ a<b\}
\]
é uma base que gera uma topologia diferente da topologia do limite inferior em $\mathbb{R}$.
\\



\end{document}
