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\begin{document} 


%%% Cabeçalho
\vspace*{-1.6cm}
\begin{center}
\textbf{{\Large Universidade de Brasília}\\ Departamento de Matemática \\
Lista 6 - Topologia Geral.} 
\end{center}
%%%%


\noindent
1- Para $x,y\in\mathbb{R}^n$ defina $d'(x,y)=|x_1-y_1|+\ldots+|x_n-y_n|$.
Mostre que $d'$ é uma métrica e além do mais que a topologia induzida por ela
coincide com a topologia produto. Para $n=2$, faça um esboço de um elemento genérico
da base da topologia induzida por esta métrica.
\\






\noindent
2- Fixe $p\geqslant 1$ e para cada par $x,y\in\mathbb{R}^n$ defina 
	\[
		d_p'(x,y)= \Big[ |x_1-y_1|^p+\ldots+|x_n-y_n|^p \Big]^{\frac{1}{p}}.
	\]
Assuma que $d'_p$ define uma métrica em $\mathbb{R}^n$. Prove que ela induz a 
topologia usual em $\mathbb{R}^n$. Mostre que para todo par $x,y\in\mathbb{R}^n$,
existe $\lim_{p\to\infty} d'_{p}(x,y)\equiv d_{\infty}(x,y)$. 
Conclua que $d_{\infty}$ coincide com a métrica induzida pela norma do máximo. 
\\






\noindent
3- Mostre que $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ com a topologia induzida pela ordem
lexicográfica é um espaço topológico metrizável.
\\






\noindent
4- Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Considere $X$ como um espaço topológico com 
a topologia induzida pela métrica $d$ e $X\times X$ um espaço topológico munido
da topologia produto. Mostre que a função $d:X\times X\to\mathbb{R}$ é contínua.
\\




\noindent
5- Seja $(X,\mathcal{T})$ um espaço topológico 
e considere $X\times X$ como um espaço topológico munido da topologia produto. 
Suponha que $d:X\times X\to \mathbb{R}$ seja um métrica em $X$. Mostre 
que se $d$ é uma função contínua então a topologia $\mathcal{T}$ é mais 
fina que a topologia induzida por $d$. 
\begin{center}
\begin{minipage}{14cm}
 {\it Em outras palavras, se $d$ é uma métrica em $X$ então 
 		a topologia induzida por $d$ é a topologia mais grossa
 		para o qual $d$ é uma função contínua.
  }
\end{minipage}
\end{center}
\vspace*{0.6cm}








\noindent
6- Considere as topologias produto, uniforme e ``box'' em $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$.
	\begin{itemize}
		\item[i)] 	Em quais destas topologias as seguintes funções de $\mathbb{R}$ para 
					$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ são contínuas ?
						\begin{itemize}
							\item[] $f(t)=(t,2t,3t,\ldots)$
							\item[] $g(t)=(t,t,t,\ldots)$
							\item[] $h(t)=(t,t/2,t/3,\ldots)$.
						\end{itemize}
		

		\item[ii)] 	Em quais destas topologias as seguintes sequências convergem ?
					\[
						\begin{array}{ll}
							w_1=(1,1,1,1,\ldots)\qquad	&\qquad		x_1=(1,1,1,1,\ldots)			\\
							w_2=(0,2,2,2,\ldots)			&\qquad		x_2=(0,1/2,1/2,1/2,\ldots)	\\
							w_3=(0,0,3,3,\ldots)			&\qquad		x_3=(0,0,1/3,1/3,\ldots)		\\
							\qquad\cdots					&\qquad		\qquad\cdots					\\
							y_1=(1,0,0,0,\ldots)			&\qquad		z_1=(1,1,0,0,\ldots)			\\	
							y_2=(1/2,1/2,0,0\ldots)		&\qquad		z_2=(1/2,1/2,0,0,\ldots)		\\	
							y_3=(1/3,1/3,1/3,0\ldots)	&\qquad		z_3=(1/3,1/3,0,0,\ldots)		\\	
							\qquad\cdots					&\qquad		\qquad\cdots		
						\end{array}
					\]
	\end{itemize}










\noindent
7- Seja $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}_{0}$ o subconjunto de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$
dado por 
	\[
		\mathbb{R}^{\mathbb{N}}_{0} 
		= 
		\{	
			(x_1,x_2,\ldots)\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}:
			 x_i\neq 0\ \text{para no máximo uma quantidade finita de índices}\ i   
		\}
	\]
Qual é o fecho de  $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}_{0}$ na topologia uniforme ?
\\










\noindent 
8- Seja $\bar{\rho}$ a métrica uniforme em $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$. 
Dados $\varepsilon>0$ e $x=(x_1,x_2,\ldots)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ seja 
	\[
		U(x,\varepsilon) 
		= 
		(x_1-\varepsilon,x_1+\varepsilon)\times\ldots\times(x_n-\varepsilon,x_n+\varepsilon)\times\ldots
	\]

	\begin{itemize}
		\item[i)] 	Mostre que $U(x,\varepsilon)$ não é igual a bola $B_{\bar{\rho}}(x,\varepsilon)$;
		\item[ii)] 	Mostre que $U(x,\varepsilon)$ nem sequer é aberto na topologia uniforme;
		\item[iii)]	Mostre que 
						\(
							B_{\bar{\rho}}(x,\varepsilon)
							=
							\displaystyle
							\bigcup_{\delta<\varepsilon} U(x,\delta).
						\) 
	\end{itemize}











\noindent 
9- Considere a aplicação $h:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$
dada por 
	\[ 
		h\big((x_1,x_2,\ldots)\big)=(a_1x_1+b_1,\ a_2x_2+b_2,\ldots).
	\]
Suponha que $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ está munido da topologia uniforme.
Sobre quais condições nos números $a_i$'s e $b_i$'s $h$ é contínua ?
Homeomorfismo ?
\\









\noindent 
10- Denote por $\ell^2(\mathbb{N})$ o subconjunto de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ 
consistindo de todas as sequências de quadrado somável, isto é, 
$x=(x_1,x_2,\ldots)\in\ell^2 \Longleftrightarrow \sum_{i\in\mathbb{N}} x^2_i<\infty$.
Assuma que a fórmula 
	\[
		d(x,y) = \left[ \sum_{i=1}^{\infty} (x_i-y_i)^2 \right]^{\frac{1}{2}}
	\]
define uma métrica em $\ell^2(\mathbb{N})$. 
Em $\ell^2(\mathbb{N})$ podemos induzir as topologias, produto, uniforme e ``box''
de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$. Temos também a topologia induzida por $d$, que vamos 
chamar de topologia-$\ell^2$.
	\begin{itemize}
		\item[i)] 	Mostre que em $\ell^2(\mathbb{N})$ temos 
						\[
							\text{topologia uniforme}\quad
							\subset \quad
							\text{topologia-}\ell^2 	\quad
							\subset 	\quad
							\text{topologia ``box''}
						\]
						
		\item[ii)]	Mostre que $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}_0\subset \ell^2(\mathbb{N})$.
					Mostre que as quatro topologias que $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}_0$
					herda de $\ell^2(\mathbb{N})$ são distintas.
					
		\item[iii)]	Mostre que o {\it cubo de Hilbert}, denotado por $H$ e dado por 
					\[
						H \equiv \prod_{n\in\mathbb{Z}_{+}} [0,1/n]
					\]
					está contido em $\ell^2(\mathbb{N})$. Compare as quatro topologias que 
					$H$ herda de $\ell^2(\mathbb{N})$. 
	\end{itemize}














\break
\noindent
11- Neste exercício apresentamos um roteiro para mostrar que a métrica euclidiana $d$ em $\mathbb{R}^n$ 
é de fato uma métrica. Para isto vamos considerar em $\mathbb{R}^n$ sua estrutura natural de espaço
vetorial sobre $\mathbb{R}$, onde a soma de dois vetores $x,y\in\mathbb{R}^n$ é dada
por $x+y=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)$, multiplicação por um escalar  $\alpha\in \mathbb{R}$ 
é dada por $\alpha x=(\alpha x_1,\ldots,\alpha x_n)$ e produto interno entre
dois vetores de $\mathbb{R}^n$ é definido por $\langle x,y\rangle =x_1y_1+\ldots+x_ny_n$.
O roteiro é composto dos quatro passos descritos abaixo:
%
%
%
	\begin{itemize}
		\item[i)]	Mostre que $\langle x,y+z\rangle= \langle x,y\rangle + \langle x,z\rangle$;
		\item[ii)] 	Mostre que $|\langle x,y\rangle| \leqslant \|x\|\cdot \|y\|$
					\\
					(dica: se $x,y\neq 0$ considere $\alpha=1/\|x\|$ e $\beta=1/\|y\|$ e 
					use o fato que $\|\alpha x\pm \beta y\|\geqslant 0$);
		\item[iii)]	Mostre que $\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|$;
					\\
					(dica: calcule $\langle x+y,x+y\rangle$ e aplique o resultado do item anterior);
		\item[iv)]	Conclua que $d$ é uma métrica.
	\end{itemize}
 










\noindent
12- Neste exercício, divido em três partes, vamos mostrar que a expressão $d(x,y)$ que aparece no Exercício 10,
define uma função de $\ell^2(\mathbb{N})\times \ell^2(\mathbb{N})$ em $\mathbb{R}$ 
e que $d$ é de fato uma métrica em $\ell^2(\mathbb{N})$.
%
%
	\begin{itemize}
		\item[i)]	Mostre que se $x,y\in\ell^2(\mathbb{N})$, então 
					$\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}|x_i \cdot y_i|<\infty$;
					\\
					(dica: use o segundo item do Ex. 11 para mostrar que as somas parciais são limitadas)
		\item[ii)]	Seja $\alpha\in\mathbb{R}$. Mostre que se $x,y\in\ell^2(\mathbb{N})$ 
					então $x+y$ e $\alpha\cdot x$ estão em $\ell^2(\mathbb{N})$.
					
		\item[iii)]	Mostre que 
					$
					d(x,y) 
					= 
					\displaystyle\left[ \sum_{i=1}^{\infty} (x_i-y_i)^2 \right]^{\frac{1}{2}}
					$  
					é uma métrica bem definida em $\ell^2(\mathbb{N})$.
	\end{itemize}		










\noindent
13- Mostre que se $d$ é uma métrica em $X$ então 
	\[
		d'(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}
	\]
é uma métrica limitada em $X$ que induz a mesma topologia que $d$.
\\
(dica: considere a função $f(x)=x/(1+x)$ para $x>0$, e aplique o Teorema do Valor Médio para concluir que 
		$f(a+b)-f(b)\leqslant f(a)$.)
\\




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% QUEBRA DE PÁGINA
\break 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%







\noindent
14- Considere o produto cartesiano $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$. Mostre que para todo 
	par $x,y\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ a fórmula 
	\[
		d(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|x_n-y_n|}{2^n}
	\]
	define uma métrica limitada em $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$.
\\








\noindent
15- Considere o produto cartesiano $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$. 
	Defina a função $d':\{0,1\}^{\mathbb{N}}\times \{0,1\}^{\mathbb{N}}\to \mathbb{R}$
	por $d'(x,x)=0$ para todo $x\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ e 
	para $x\neq y\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ defina 
	\[
		d'(x,y) 
		= 
		\frac{1}{2^{n}}, \quad \text{onde}\ n=\min\{i\in\mathbb{N}: x_i\neq y_i\}.
	\]
	Mostre que $d'$ é uma métrica limitada em $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$.
\\









\noindent
16- Considerando as métricas $d$ e $d'$ definidas nos Exercícios 14 e 15 mostre que 
	existem constantes positivas $K$ e $M$ tais que para todo $x, y\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}$,
	temos 
		\[
			K\cdot d'(x,y) \leqslant d(x,y) \leqslant M\cdot d'(x,y).
		\]










\noindent
17- Seja $d'$ a métrica definida no Exercício 15. Mostre que coleção de todas as bolas abertas 
	$B_{d'}(x,\varepsilon)$, onde $x\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ e $\varepsilon>0$ é uma 
	subbase da topologia produto (daqui em diante, considere $\{0,1\}$ como espaço topológico com a topologia discreta). 
	Conclua que a métrica $d'$ induz a topologia produto em 
	$\{0,1\}^{\mathbb{N}}$.
\\









\noindent
18- Usando os Exercícios 16 e 17 conclua que a métrica $d$ definida no Exercício 14 
induz a topologia produto em $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$. 
Tente fazer uma prova direta deste fato.
\\








\noindent 
19- Seja $d'$ a métrica definida Exercício 15, dados quaisquer $x\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ e
	$\varepsilon>0$ mostre que bola $B_{d'}(x,\varepsilon)$ é ao mesmo tempo um aberto e fechado da 
	topologia produto de $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$.
\\








\noindent
20- Mostre que o conjunto formado por um ponto no espaço $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ não é um conjunto aberto
na topologia produto. Conclua que a topologia produto não é a topologia discreta.
\\
(Observe que cada fator $\{0,1\}$ está munido da topologia discreta, mas mesmo assim a topologia produto 
não é a topologia discreta! Note porém que obtemos a topologia discreta se o número de fatores no produto
cartesiano é finito.)
\\







\noindent
21- Mostre que o shift $\sigma: \{0,1\}^{\mathbb{N}}\to \{0,1\}^{\mathbb{N}}$, dado 	
	por $\sigma(x_1,x_2,x_3,\ldots)=(x_2,x_3,\ldots)$ é uma aplicação contínua.
	O shift é uma aplicação aberta ? Fechada ? Homeomorfismo ?
\\







\noindent
22- Seja $\sigma:\{0,1\}^{\mathbb{N}}\to \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ 
	o shift definido no Exercício 21. Para cada $n\in\mathbb{Z}_{+}$ 
	denotamos por $\sigma^{(n)} \equiv \sigma\circ\sigma\circ\ldots\circ\sigma$,
	a composição sucessiva da aplicação $\sigma$ com si mesma $n$ vezes.
	A órbita de um ponto $x\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ pelo shift é definida 
	como sendo o conjunto 
	$\mathcal{O}(x)\equiv \{\sigma^{(n)}(x): n\in\mathbb{Z}_{+}\}\cup\{x\}$. 
	Determine explicitamente um ponto $x^*\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ tal que 
	o fecho da orbita de $x^*$, pelo shift, é todo o espaço $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$,
	isto é, 
	\[
		\overline{\mathcal{O}(x^*)}=\{0,1\}^{\mathbb{N}}.
	\]
\end{document}
