\documentclass[12pt]{report}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% DIAGRAMAS
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%%% Ajuste de Página
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%%%
\pagestyle{empty}
\renewcommand{\Re}{\text{Re}}
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\newcommand{\sen}{\text{sen}\,}
\begin{document} 


%%% Cabeçalho
\vspace*{-1.6cm}
\begin{center}
\textbf{{\Large Universidade de Brasília}\\ Departamento de Matemática \\
Lista 7 - Topologia Geral.} 
\end{center}
%%%%


\noindent
1- Seja $A\subset X$. Se $d$ é uma métrica para a topologia de $X$, mostre que $d|{A\times A}$ é uma métrica para a topologia subespaço induzida em $A$.
\\








\noindent
2- Sejam $X$ e $Y$ espaços métricos com métricas $d_X$ e $d_Y$, respectivamente.
Uma função $f:X\to Y$ é chamada de isometria
se para todo par de pontos $x,y\in X$
temos $d_Y(f(x),f(y))=d_X(x,y)$.
Mostre que toda isometria é uma imersão.
\\










\noindent
3- Para cada $n\in\mathbb{Z}_{+}$ seja 
$(X_n,d_n)$ um espaço métrico.
	\begin{itemize}
		\item[i)] 	Mostre que $\rho(x,y)=\max\{d_1(x_1,y_1),\ldots d_n(x_n,y_n)\}$
					é uma métrica em $X_1\times\ldots\times X_n$.
					
		\item[ii)]	Seja $\bar{d}_n=\min\{d_n,1\}$. Mostre que 
					$D(x,y)=\sup\left\{\displaystyle\frac{\bar{d}_n(x,y)}{n}\right\}$
					é uma métrica em $\displaystyle\prod_{n\in \mathbb{Z}_{+}} X_{n}$
	\end{itemize}










\noindent
4- Seja $X$ um conjunto e $f_n:X\to \mathbb{R}$ uma sequência de funções. 
	Seja $\bar{\rho}$ a métrica uniforme em $\mathbb{R}^X$.
	Mostre que a sequência $(f_n)$ converge uniformemente para uma função
	$f:X\to\mathbb{R}$ se, e somente se, $f_n$ converge para $f$ como elementos
	do espaço métrico $(\mathbb{R}^X,\bar{\rho})$. 
\\









\noindent 
5-  Seja $X$ um espaço topológico e $Y$ um espaço métrico.
Seja $f_n:X\to Y$ uma sequência de funções contínuas. 
Seja $x_n$ uma sequência de pontos de $X$ que converge para $x$.
Mostre que se a sequência $(f_n)$ converge uniformemente para $f$ 
então $(f_n(x_n))$ converge para $f(x)$.
\\












\noindent
6- Considere a sequência de funções $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por
	\(
		f_n(x)=\frac{1}{n^3[x-1/n]^2+1}.
	\)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   FIGURA   ---   Gráfico da funçao fn
%
%
\begin{figure}[h]
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.55]{grafico1-Lista7.pdf}
 \caption{Esboço do gráfico de $f_{10}$.}
\end{center}
\end{figure}
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\
Mostre que $f_n(x)\to 0$ para todo $x\in\mathbb{R}$ e que esta convergência não é uniforme.











%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  QUEBRA DE PÁGINA
\break
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%













\noindent
7- Usando a formulação de continuidade por fechados, mostre que os seguintes 
subconjuntos de $\mathbb{R}^2$ são fechados:
	\begin{itemize}
		\item[] 		$A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: xy=1\}$;
		\item[]		$S^1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2=1\}$;
		\item[] 		$\overline{B(0,1)}= \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2\leqslant 1\}$;
	\end{itemize}












\noindent
8- Seja $p:X\to Y$ uma aplicação contínua. Se existe uma aplicação 
contínua $f:Y\to X$ tal que $p\circ f = Id_Y$ ($Id_Y$ é a identidade em $Y$)
mostre que $p$ é um mapa quociente.
\\










\noindent
9- Se $A\subset X$, uma {\bf retração} de $X$ em $A$ é uma aplicação contínua
$r:X\to A$ tal que $r(a)=a$ para todo $a\in A$. Mostre que uma retração é um 
mapa quociente.
\\









\noindent
10- Sejam $\pi_1:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ a projeção na primeira coordenada e 
	$A$ o subespaço de $\mathbb{R}^2$ consistindo de todos os pontos $(x,y)$
	tais que $x\geqslant 0$ ou $y=0$ (ou ambos). Seja $q:A\to \mathbb{R}$ a 
	restrição de $\pi_1$ ao conjunto $A$. Mostre que $q$ é um mapa quociente
	que não é nem aberto nem fechado.
\\










\noindent
11- Defina uma relação de equivalência no plano $X=\mathbb{R}^2$ da seguinte maneira:
	$(x_0,y_0)\sim (x_1,y_1)$ se $x_0+y_0^2=x_1+y_1^2$. Seja $X^*$ o espaço quociente
	correspondente a esta relação de equivalência. Este espaço é homeomorfo a algum 
	espaço familiar, qual ?
	\\
	(Dica: considere a função $g(x,y)=x+y^2$).
\\











\noindent
12- Como no exercício anterior, 
	vamos considerar uma relação de equivalência no plano $X=\mathbb{R}^2$ desta vez
	dada por $(x_0,y_0)\sim (x_1,y_1)$ se $x_0^2+y_0^2=x_1^2+y_1^2$. 
	Seja $X^*$ o espaço quociente correspondente a esta relação de equivalência. 
	A qual espaço familiar $X^*$ é homeomorfo ?
\\











\noindent
13- Mostre que aplicação $\pi:\{0,1\}^{\mathbb{N}}\to [0,1]$, dada abaixo é contínua
	\[
		\pi( (x_1,x_2,x_3,\ldots)) 
		= 
		\frac{x_1}{2}+\frac{x_2}{2^2}+\frac{x_3}{2^3}+\ldots+\frac{x_n}{2^n}+\ldots
	\] 
	










\noindent 
14- Sejam $\sigma:\{0,1\}^{\mathbb{N}}\to\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ a aplicação shift
definida na Lista 6 e $f:[0,1]\to [0,1]$ a função dada por $f(x)= 2x\ (\text{mod}\ 1)$,
com $f(1/2)=0$ e $f(1)=0$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   FIGURA   ---   Gráfico da Double-Mapping
%
%
\begin{figure}[h]
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.45]{Double-Mapping.pdf}
 \caption{Esboço do gráfico da aplicação $f(x)= 2x\ (\text{mod}\ 1)$.}
\end{center}
\end{figure}
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\

	\begin{itemize}
	
		
		\item[i)] 	Encontre os pontos fixos de $\sigma$, isto é, o conjunto
					$\text{fix}(\sigma)\equiv\{x\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}: \sigma(x)=x)\}$.		
		
		
		\item[ii)]	Considere a aplicação $\pi$ definida no Exercício 13.
					Use o conjunto $\text{fix}(\sigma)$ para mostrar
					que o seguinte diagrama {\bf NÃO } é comutativo
					\[
						\begin{CD}
							\{0,1\}^{\mathbb{N}} @>\sigma>> \{0,1\}^{\mathbb{N}}\\
							@VV\pi V  @VV \pi V\\
							[0,1] @>f >> [0,1]
						\end{CD}
					\]
	
	\end{itemize}
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
\noindent	
15- Seja $X=[0,1]$ considere a relação de equivalência ``$\sim$'' em $X$ dada por:
					\[
						x\sim x' \ \ \text{se}\ \ \ 
						\begin{cases}
							x=x',\text{ou}\\
							x=0\ \text{e}\  x'=1, \text{ou}\\
							x'=0\ \text{e}\  x=1.
						\end{cases} 
					\]
					Seja $X^*$ o espaço quociente, definido pela relação de equivalência $\sim$
					e pelo mapa quociente $p:X\to X^*$, que leva cada ponto em sua classe.
					Assuma que a aplicação $g:[0,1]\to S^1$, dada por $g(x)=\exp(2\pi i x)$ é 
					um mapa quociente (vamos provar isto mais a frente usando compacidade).
					Mostre que $X^*$ é homeomorfo a $S^1$.
					\\
					(dica: use os resultados apresentados em sala de aula para completar o diagrama.)
					\begin{center}					
						\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
							\node (A) at (0,1) {$X$};
							\node (C) at (0,0) {$X^*$};
							\node (D) at (1,0) {$S^1$};
							\path[->,font=\scriptsize,>=angle 90]
							(A) edge node[left]{$p$} (C)
							(A) edge node[above]{$g$} (D)
							(C) edge node[below]{$??$} (D);
						\end{tikzpicture}			
					\end{center}							
















\noindent
16- 		Seja $\sigma$ o shift no espaço $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$.
		Defina a aplicação $\pi:\{0,1\}^{\mathbb{N}}\to S^1$ 
		por 
			\[
				\pi((x_1,x_2,x_3\ldots)) = \exp\left[ 2\pi i \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{2^n} \right]. 
			\]
					Se $f:S^1\to S^1$ é dada por $f(z)=z^2$.
					Mostre que o seguinte diagrama é comutativo
					\[
						\begin{CD}
							\{0,1\}^{\mathbb{N}} @>\sigma>> \{0,1\}^{\mathbb{N}}\\
							@VV\pi V  @VV \pi V\\
							S^1 @>f >> S^1
						\end{CD}
					\]




%%%%%%%%%%%%%%%%%%% QUEBRA DE PÁGINA
\break
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%






\noindent
17- Seja $f:X\to X$ uma função e denote por $f^{(n)}$ a $n$-ésima iterada de $f$.
Dizemos que $x_0\in X$ é um ponto periódico para $f$ se existe $n_0\in\mathbb{N}$ 
tal que $x_0=f^{(n_0)}(x_0)$. Denotamos por $\text{per}(f)$ o conjunto de todos seus pontos
periódicos.
	\begin{itemize}
		\item[i)] Considere $X=S^1$ e $f(z)=z^2$. Mostre que o fecho de $\text{per}(f)$ é todo $S^1$.
					\\
					(dica: há basicamente duas maneiras de fazer isto: 
					ou você resolve uma equação polinomial (simples) de grau $2n$, 
					ou usa o Exercício 16 junto com a seguinte observação; pontos periódicos 
					de $\sigma$ são levados por $\pi$ em pontos periódicos de $f$).
						
		\item[ii)] O conjunto dos pontos pré-periódicos para $f$ é definido como sendo conjunto 
					\[
						\bigcup_{n=1}^{\infty} f^{(-n)}(\text{per}(f)).
					\]
					Mostre que existem infinitos pontos pré-periódicos para $f(z)=z^2$
					que não são periódicos.
					\\
					(dica: use a dica do item anterior pensando em pré-periódicos ao invés de periódicos).
	\end{itemize}

\end{document}





