\documentclass[12pt]{paper}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,epsfig,color,graphicx}
%\usepackage{hyperref}
\setlength{\hoffset}{-2.1cm}
%\setlength{\textheight}{33cm}
\setlength{\textwidth}{18cm}
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\pagestyle{empty}
\renewcommand{\Re}{\text{Re}}
\renewcommand{\Im}{\text{Im}}
\newcommand{\sen}{\text{sen}\,}
%%
\newtheorem{teorema}{Teorema}
\newtheorem{proposicao}[teorema]{Proposição}
\newtheorem{lema}[teorema]{Lema}
\newtheorem{definicao}[teorema]{Definição}
\newtheorem{corolario}[teorema]{Corolário}
\newtheorem{exemplo}[teorema]{Exemplo}
\newtheorem{exercicio}{Exercício}
%% Comandos para editar em cores
%
%
\definecolor{Red}{cmyk}{0,1,1,0}
\def\red{\color{Red}}
\definecolor{Blue}{cmyk}{1,1,0,0}
\def\blue{\color{Blue}}
\newcommand{\cqd}{\nopagebreak\hfill\fbox{ }}

%%%%%%%%%%%%% INICIO - Alguns Comandos Úteis
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}



\begin{document} 
%%
%%
%%
%%
%%
%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LOGO UnB
\begin{figure}[t!]
	\centering
	\vspace*{-3.4cm}
	%\hspace*{6.5cm}
	\includegraphics[scale=0.38,keepaspectratio=true]{logo-unb-editado1.pdf}
	% logo-unb-editado1.pdf: 302x26 pixel, 72dpi, 10.65x0.92 cm, bb=0 0 302 26
	\label{fig:logomarca}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CABEÇALHO 
\begin{center}
   \vspace*{-1.0cm}{\Large Departamento de Matemática} \\
  Prova 1 - Probabilidade e Teoria da Medida\\
  Data: 16/09/2014 - Horário:14:00 às 16:00h.\\
  {\bf Valor : 100 pontos.}
\end{center}
\vspace{1cm}
Nome:\ \underline{\hspace{12cm}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Inicio documento
\vspace*{1cm} 
\noindent 
1- (15 pts.) 
Mostre que se $\{E_k\}$ é uma coleção de eventos tais que 
\( 
	\sum_{k=1}^{n} \P(E_k) > n-1,
\) 
então
\( 
	\P\left(  \bigcap_{k=1}^{n} E_k\right) >0. 
\)	
\vspace*{0.2cm}








\noindent 
2- (15 pts.) 
Seja $\{E_n\}$ é uma sequência de eventos tais que
$\P(E_n)=1$, para todo $n\in\mathbb{N}$. Mostre que 
\(  \P ( \cap_{n=1}^{\infty} E_n ) =1 \).
\vspace*{0.2cm}






 

\noindent 
3- (10 pts.) 
A função $F:\R\to\R$ dada por 
\[
	F(x)
	=
	\begin{cases}
		0,&\text{se}\ \  x\leq 1;
		\\
		1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}},&\text{se}\ \ x>1.
	\end{cases}
\] 
é uma função distribuição ? Justifique sua resposta.
\vspace*{0.3cm}











\noindent 
4- (30 pts.) 
Seja $(\Omega,\F,\P)$ um espaço de probabilidade. Suponha que 
$\{X_n\}$ é uma sequência de variáveis aleatórias independentes tais que 
\( \P(|X_n|\leq n)\leq 1-1/\sqrt{n} \). 
Mostre que são verdadeiras as seguintes afirmações sobre 
a série aleatória $\sum_{n=1}^{\infty} X_nz^n$:
\begin{itemize}
		\vspace*{-0.2cm}
		\item[a)] o raio de convergência $R$ desta série é uma v.a.;
		\vspace*{-0.3cm}
		\item[b)] existe $R_0\in\R$ tal que $R=R_0$ quase certamente;
		\vspace*{-0.3cm}
		\item[c)] $R\leq 1$ (dica: use a Lei Zero-Um de Borel).
\end{itemize}
\vspace*{-0.2cm}
{\bf Dica}. O raio de convergência de uma série de potências 
$\sum_{n=1}^{\infty} c_nz^n$ é dado por 
	\(
		R^{-1} = \limsup_{n\to\infty} |c_n|^{\frac{1}{n}}.
	\)




\begin{center}
	{\bf \large Escolha e faça SOMENTE 1 dos 3 exercícios abaixo}
\end{center}







\noindent 
Opt1- (30 pts.) 
Seja  
	\(
		\Omega 
		=
		\{(x_1,\ldots,x_n): x_i\in\{1,\ldots r\}\ \forall i=1,\ldots,n\}
	\).
 Suponha que seja $\P$ seja
uma medida de probabilidade neste espaço tal que todo ponto 
de $\Omega$ tem a mesma probabilidade. 
Defina as seguintes variáveis aleatórias 
(projeção na $i$-ésima coordenada)
	\(
		X_i(x_1,\ldots,x_n) = x_i,
		\quad
		\forall i=1,\ldots,n.
	\)
Prove que as variáveis aleatórias $X_1,\ldots,X_n$
são independentes.
\vspace*{0.3cm}













\noindent 
Opt2- (30 pts.) 
Seja $\{X_n, n\in\N\}$ uma sequência de variáveis 
aleatórias independentes. Mostre que 
\(
	\P \left(  \sup_{n\in\N} X_n <\infty  \right)=1
	\
	\Longleftrightarrow
	\
	\sum_{n=1}^{\infty} \P(X_n>M) <\infty,
	\ 
	\text{ para algum}\ M>0.
\)
\vspace*{0.3cm}













\noindent 
Opt3- (30 pts.) 
Seja $(\Omega,\F,\P)$ um espaço de probabilidade.
Dada qualquer sequência de v.a.'s $\{X_n, n\in\N\}$, tomando valores 
reais, mostre que existe uma sequência 
$\{c_n\}$ de números reais (que pode depender da sequência $\{X_n\}$) 
tal que 
	\[
		\P \left( \lim_{n\to\infty} \frac{X_n}{c_n}=0 \right)=1.
	\]
Dica: Mostre que para todo $n\in\N$ existe $c_n\in \R$ tal que 
$\P(|X_n|>c_n/n)\leq 1/n^2$.
\end{document}
