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%% Comandos para editar em cores
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\begin{document} 
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LOGO UnB
\begin{figure}[t!]
	\centering
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	%\hspace*{6.5cm}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CABEÇALHO 
\begin{center}
   \vspace*{-1.2cm}{\Large Departamento de Matematica} \\
  Prova 1 - Topologia Geral\\
  Data: 10/02/2014 - Horário:08:00 às 11:30h.\\
  {\bf Valor : 100 pontos.}
\end{center}
\vspace{1cm}
Nome:\ \underline{\hspace{12cm}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Inicio documento
\vspace*{1cm} 
\noindent 
1- (20 pts.) Fixado $n\in\mathbb{Z}_{+}$ e $R>0$, mostre que a {\it inversão} 
$\tau:\mathbb{R}^n\setminus\{0\} \to \mathbb{R}^n\setminus\{0\}$
dada por 
	\[
	\tau(x)=\frac{Rx}{\|x\|^2},
	\quad
	(\text{onde}\ x=(x_1,\ldots,x_n)\ \text{e}\ \|x\|^2=x_1^2+\ldots+x_n^2)
	\]
é um homeomorfismo.
\\






\noindent 
2- (10 pts.) Sejam $X$ um espaço topológico e 
$f_i:X\to \mathbb{R}$ ($i=1,\ldots, n$) funções contínuas.
Mostre que o conjunto solução do sistema 
	$f_1(x)=0,\ldots , f_n(x)=0$
é fechado.
\\








\noindent
3- (10 pts.) Seja $(X,d)$ um espaço métrico. 
É verdade que fecho da bola aberta de centro $x\in X$ raio $r>0$ 
é a bola fechada de centro $x$ e raio $r$ ?
Em outras palavras é verdadeira a seguinte igualdade 
	\[
		\overline{\{y\in X: d(x,y)<r\} } 
		=
		\{y\in X: d(x,y)\leq r\} \quad ?
	\] 
Prove ou dê um contra-exemplo. 
\\









\noindent
4- (10 pts.) Suponha que $A$ é um conjunto aberto em $\mathbb{R}$ tal que
$\mathbb{Q}\subset A\subset \mathbb{R}$ é verdade que $A=\mathbb{R}$ ?
Prove ou dê um contra-exemplo.   
(dica: lembre-se dos fechados mais simples da reta.)
\\











\noindent
5- (20 pts.) Mostre que aplicação $\pi:\{0,1\}^{\mathbb{N}}\to [0,1]$, dada abaixo é contínua
	\[
		\pi( (x_1,x_2,x_3,\ldots)) 
		= 
		\frac{x_1}{2}+\frac{x_2}{2^2}+\frac{x_3}{2^3}+\ldots+\frac{x_n}{2^n}+\ldots
	\] 










\noindent 
6- (10 pts.) Mostre que $\mathbb{R}^2\setminus \mathbb{Q}^2$ é conexo por caminhos. 
\\











\noindent 
7- (20 pts) Seja $X$ um espaço compacto e $Y$ Hausdorff. 
Mostre que se $f:X\to Y$ é contínua, então $f$ é uma aplicação 
fechada.
\end{document}
