\documentclass[12pt]{paper}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,epsfig,color,graphicx}
\usepackage{mathrsfs}
%\usepackage{hyperref}
\setlength{\hoffset}{-2.1cm}
%\setlength{\textheight}{33cm}
\setlength{\textwidth}{18cm}
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\pagestyle{empty}
\renewcommand{\Re}{\text{Re}}
\renewcommand{\Im}{\text{Im}}
\newcommand{\sen}{\text{sen}\,}
%%
\newtheorem{teorema}{Teorema}
\newtheorem{proposicao}[teorema]{Proposição}
\newtheorem{lema}[teorema]{Lema}
\newtheorem{definicao}[teorema]{Definição}
\newtheorem{corolario}[teorema]{Corolário}
\newtheorem{exemplo}[teorema]{Exemplo}
\newtheorem{exercicio}{Exercício}
%% Comandos para editar em cores
%
%
\definecolor{Red}{cmyk}{0,1,1,0}
\def\red{\color{Red}}
\definecolor{Blue}{cmyk}{1,1,0,0}
\def\blue{\color{Blue}}
\newcommand{\cqd}{\nopagebreak\hfill\fbox{ }}

%%%%%%%%%%%%% INICIO - Alguns Comandos Úteis
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}



\begin{document} 
%%
%%
%%
%%
%%
%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LOGO UnB
\begin{figure}[t!]
	\centering
	\vspace*{-3.4cm}
	%\hspace*{6.5cm}
	\includegraphics[scale=0.38,keepaspectratio=true]{logo-unb-editado1.pdf}
	% logo-unb-editado1.pdf: 302x26 pixel, 72dpi, 10.65x0.92 cm, bb=0 0 302 26
	\label{fig:logomarca}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CABEÇALHO 
\begin{center}
   \vspace*{-1.0cm}{\Large Departamento de Matemática} \\
  Prova 3 - Probabilidade e Teoria da Medida\\
  Data: 04/12/2014 - Horário:14:00 às 16:00h.\\
  {\bf Valor : 100 pontos.}
\end{center}
\vspace{1cm}
Nome:\ \underline{\hspace{12cm}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Inicio documento
\vspace*{1cm} 


\noindent 
1- (25 pts.) 
Seja $\{X_i,\ i=1,\ldots, n\}$ uma coleção  
de v.a.'s mutuamente independentes tais que 
$\P(X_i=1)=\P(X_i=-1)=1/2$.
Denote por $S_n= X_1+\ldots +X_n$. Mostre que
para todo $a>0$ temos 
\[
	\P(\{S_n>a\})\leq e^{-\frac{a^2}{2n}}
\]
(Dica: Observe que para todo $\lambda>0$ temos 
$
\P(\{S_n>a\})=\P(\{\exp(\lambda S_n)>\exp(\lambda a)\})
$
e que $\cosh^n(\lambda)\leq \exp(\lambda^2 n/2).$
)
\\





\noindent 
2- (20 pts.) 
Uma função $\varphi :\mathbb{R}\to\mathbb{C}$
é chamada {\it definida positiva} se para todo
$n=1,2,\ldots,$ e toda $n$-úpla $(c_1,\ldots,c_n)$
de números complexos temos
\[
	\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}
	\varphi(t_j-t_k)c_j\overline{c}_k
	\geq 0,
	\quad
	\forall \ (t_1,\ldots,t_n)\in\mathbb{R}^n.
\]
Mostre que toda função característica é definida positiva.  
\\






 

\noindent 
3- (25 pts.) 
Sejam $X_1,X_2,\ldots$ uma sequência de v.a.'s independentes
e $X$ uma v.a. discreta com $\mathbb{P}(X=n)=p_n,\ n\geq 1$
e independente da sequência $\{X_n\}_{n\in\mathbb{N}}$.
Seja $F_n$ a distribuição de $X_n$ e $\varphi_n$
sua função característica. Mostre usando a esperança condicional 
que a v.a. 
\[
	Y= \sum_{n=1}^{\infty} 1_{\{X=n\}}X_n
\]  
tem função característica dada por $\varphi = \sum_{n\geq 1}p_n\varphi_n$.
\\









\noindent 
4- (30 pts.) 
Enuncie e demonstre 
o Teorema do Limite Central no caso iid. 
em que as v.a.'s $X_1,X_2\ldots$ 
têm média zero e variância um. 











\end{document}
