XLV Escola de Verão MAT/UnB

Topologia Geral

Ministrante: Professor Ewerton Vieira (UFG).

Périodo: 4/1/16 a 5/2/16

Carga horária: 60 horas.

Público-alvo: Alunos de graduação e pós-graduação.

Objetivos: A Topologia Geral é um tópico que preenche adequadamente a lacuna entre o final da graduação e o início do mestrado, ao passo que introduz para os estudantes ainda não graduados a noção de abstração matemática, essencial durante todos os outros cursos de pós-graduação na área. Por outro lado, o curso de Topologia Geral ganha relevância para os recém-egressos em programas de mestrado em Matemática ou áreas afins, pois muitos dos resultados nele discutidos são aplicáveis em outros tópicos/áreas do conhecimento, e.g. Análise e Geometria Diferencial. O objetivo desse curso é apresentar de maneira abrangente as principais propriedades dos espaços topológicos e fazer uma introdução ao reino da Topologia Algébrica.

Ementa: Espaços topológicos e aplicações contínuas. Espaços conexos. Axiomas de Separação. Espaços compactos. Topologia produto. topologia quociente. Homotopia: grupo fundamental e espaços de recobrimento. Homologia singular. Propriedades homotópicas dos grupos de homologia. Teorema de excisão. Sequência de Mayer-Vietoris. Teorema de separação de Jordan-Brower. Característica de Euler. Aplicações de $S^n$ em $S^n$. Introdução à teoria do grau.

Referências Bibliográficas

• [1] Artin E. e Braun H. Introduction to Algebraic Topology. Merril, Westerville, OH, 1969.
• [2] Dugundji, J. Topology. Universal Book Stall. California, 1989.
• [3] Lima, E. L. Grupo Fundamental e espaços de Recobrimento. Projeto Euclides. IMPA. Rio de Janeiro, 2012.
• [4] Munkres, J. Topology. Prentice Hall. New York, 2000.
• [5] Singer, I. M. e Thorpe J. A. Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer-Verlag. New York, 1976.

Grupos Finitos Admitindo Automorfismos Livres de Pontos Fixos

Ministrante: Professor Emerson Ferreira de Melo (UnB)

Período: 11/1/16 a 22/1/16

Local: Departamento de Matemática

Horário: Terças, Quartas e Quintas-feiras, de 14h às 16h

Carga horária: 12 horas.

Público-alvo: Alunos de pós-graduação.

Objetivos: Fazer uma introdução ao estudo de grupos finitos admitindo um automorfismo livre de pontos fixos e mostrar como utilizar anéis de Lie associados para limitar parâmetros desses grupos.

Ementa: Pontos fixos de automorfismos. Automorfismos de ordem prima livres de pontos fixos. Anel de Lie associado a um grupo nilpotente. Teorema de Higman-Kreknin-Kostrikin.

Referências Bibliográficas

• [1] Gorenstein, D. Finite Groups, Harper and Row, New York, 1968.
• [2] Gorenstein, D. Finite Simple Groups: An Introduction to their Classification, Plenum Press. New York, London, 1982.
• [3] Khukhro, E. I. Nilpotent Groups and their Automorphisms, de Gruyter Verlag. Berlin, 1993.
• [4] Khukhro, E. I. p-Automorphisms of Finite p-groups, London Mathematical Society Lecture Note Series. 246, 1998.

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Equações Dinâmicas em Escalas Temporais e Aplicações

Ministrante: Professora Jaqueline Godoy da Universidade de Brasília (UnB)

Périodo: 4/1/16 a 21/1/16

Local: Sala B. Térreo do Departamento de Matemática.

Horário: Segundas, terças e quintas-feiras, de 14h30 às 16h30

Carga horária: 18 horas.

Público-alvo: Alunos de pós-graduação.

Objetivos: Dar uma visão global sobre as equações dinâmicas em escalas temporais e suas aplicações em modelos populacionais, econômicos e físicos. Pretendemos abordar os tópicos centrais, bem como os principais resultados existentes na teoria. Os conceitos e resultados estudados serão ilustrados a partir de exemplos.

Ementa: Introdução. Delta integrais. Equações dinamicas em escalas temporais e funções exponenciais em escalas temporais. Transformada de Laplace em escalas temporais. Relação entre as Riemann delta integrais e as integrais de Riemann-Stieltjes. Relação entre as equações diferenciais em medida e as equações dinâmicas em escalas temporais. Resultados para equações dinâmicas em escala temporal via EDMs. Aplicações.

Referências Bibliográficas

• [1] Atici, F. M., Biles, D. C. e Lebedinsky, A. An application of time scales to economics. Math. and Comp. Modell. 43, p. 718-726, 2006.
• [2] Bohner, M. e Peterson, A. Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applications. Birkhäuser. Boston 2001.
• [3] Bohner, M. e Peterson, A. Advances in Dynamic Equations on Time Scales. Birkhäuser. Boston, 2003.
• [4] Christiansen, F. B. e Fenchel, T. M. Theories of populations in biological communities, vol. 20 of Lectures Notes in Ecological Studies. Springer-Verlag. Berlim, 1977.
• [5] Federson, M., Mesquita, J. G. e Slavk, A. Measure functional differential equations and functional dynamic equations on time scales, Journal Dif. Equations, v. 252, p. 3816-3847, 2012.
• [6] Mesquita, J. G. Uma introdução a teoria de escalas temporais. UFOPA: II Colóquio de Matemática da Região Norte. Santarém. 1, p. 1-26, 2013.
• [7] Mesquita, J. G. Equações Dinâmicas em escalas temporais e aplicações Apostila com 70 páginas.
• [8] Tisdell, C. C. e Zaidi, A. Basic qualitative and quantitative results for solutions to nonlinear, dynamic equations on time scales with an application to economic modelling, Nonlinear Anal., 68, p. 3504-3524, 2008.
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Equações de Evolução Via Formas

Ministrante: Professor Jamil Gomes de Abreu Júnior (UFSCar)

Périodo: 12/1/16 a 20/1/16

Local: Departamento de Matemática

Horário: 10h às 12h.

Carga horária: 18 horas.

Público-alvo: Alunos de pós-graduação.

Objetivos: O objetivo desse minicurso é aproximar o estudante alvo da pesquisa em Matemática na área de Equações de Evolução. Tem o viés de introduzir o aluno a assuntos chave que poderão ser explorados de forma mais profunda em futuras investigações científicas durante o mestrado ou doutorado na área, ou a posteriori. O assunto será abordado a partir da noção de formas diferenciais, ferramenta que tornou-se imprescindível na investigação matemática devido ao seu imenso poder de penetração e uniformização teóricos. De maneira geral, o minicurso trabalha de forma intrínseca a relação entre Ensino e Pesquisa, pois prepara os estudantes com interesse em na teoria de Equações Diferencias de Evolução para seus primeiros passos no que diz respeito à investigação Matemática.

Ementa: Elementos da teoria de semigrupos. Análise no espaço $H^1$. Formas e operadores: Laplaciano de Dirichlet, Neumann e Robin, Operador de Dirichlet-a-Neumann e Operador de Stokes. Comportamento assintótico via invariância. Formas setoriais. Equações não-autônomas.

Referências Bibliográficas

• [1] Abreu, J. Equações de Evolução via Formas (livro, em preparação)
• [2] Arendt, W, et all. Form methods for evolution equations, and applications . 18th Internet Seminar. Lecture Notes, 2014/2015.

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Operadores Diferenciais em Variedades Riemannianas

Ministrante: Professor José Nazareno da Universidade Federal do Amazonas (UFAM).

Périodo: 18/1/16 a 29/1/16

Local: Departamento de Matemática

Horário: Segundas, Quartas e Sextas-feiras, de 10h às 12h

Carga horária: 12 horas.

Público-alvo: Alunos de pós-graduação.

Objetivos: Fazer uma introdução ao estudo de equações diferenciais parciais sobre Variedades Riemannianas e estudar os principais operadores diferenciais nesses ambientes.

Ementa: Variedades Riemannianas: elementos básicos. Tensores em variedades Riamannianas. Derivada covariante de um tensor. Conexão afim. Curvatura. Derivada de Lie. Operadores diferenciais. Orientação. teorema da Divergência. Relação entre Tensores e operadores diferenciais. Método de Perron. Desigualdade de Heintze-Karcher. Teorema de Alexandrov.

Referências Bibliográficas

• [1] Alexandrov, A. D. Uniqueness Theorems for surfaces in the Large. I. Vestnik Leningrad univ. 11, p. 5-17, 1956.
• [2] Barros, A. e Gomes, J. N. A compact gradient generalized quasi-Einstein metric with constant scalar curvature. J. Math. Anal. Appl. 401, p.702-705, 2013.
• [3] Barros, A., Gomes, J. N. e Ribeiro, E. A note on rigidity of the almost Ricci soliton. Arch. der Math. 100, p. 481-490, 2013.
• [4] Biezuner, R. J. Equações Diferenciais Parciais I/II. Notas de Aula, Minas Gerais, 2010.
• [5] Brendle, S. Constant mean curvature surfaces in warped product manifolds. Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 117, p. 247-269, 2013.
• [6] Brickell, F. e Clark, R. S. Differrential Manifolds. London Van Nostrand Reinhold Co., 1973.
• [7] do Carmo, M. P. Geometria Riemanniana. Rio de Janeiro. Projeto Euclides. IMPA, 2011.
• [8] do Carmo, M. P. O Método do Referencial Móvel. Rio de Janeiro Publicações Matemáticas. IMPA, 2012.
• [9] do Carmo, M. P. Formas Diferenciais e Aplicações. Oitavo Colóquio Brasileiro de Matemática. IMPA, Rio de Janeiro, 1971.
• [10] Cheeger, J. Finiteness theorems for Riemannian manifolds. Amer. J.Math. 92, p. 61-74, 1970.
• [11] Furlanetto, J. R. Sobre EquaçõesElípticas e Aplicações. Dissertação de Mestrado em Matemática. Curitiba, 2007.
• [12] Gilbarg, D. e Trudinger N. S. Eliptic Partial Differrential Equations of Second Order. Springer-Verlag. New York, 2001.
• [13] Gomes, J.N. Rigidez de Superfícies de Contato e Caracterização de Variedades Riemannianas Munidas de um Campo Conforme ou de Alguma Métrica Especial. Tese de Doutorado. Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2012.
• [14] Heintze, E. e Karcher H. A general comparison theorem with applications to volume estimates for submanifolds. Ann. Sci. École Norm. 11, p. 451-470, 1978.
• [15] Klingenberg, W. Contributions to Riemannian Geometry in the large. Ann. of Math. 69 p. 654-666, 1959.
• [16] Lee, J. M. Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. New York, 2003.
• [17] Lee, J. M. Introduction to Topological Manifolds. Springer-Verlag. New York, 2011.
• [18] Lee, J. M. Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer-Verlag. New York, 1997.
• [19] Lima, E. L. Curso de Análise vol. 2, Projeto Euclides. IMPA. Rio de Janeiro, 2010.
• [20] Mesquita, R.R. Fórmulas variacionais tipo Hadamard para os autovalores do $\eta$-laplaciano e aplicações . Tese de Doutorado. Universidade Federal do Amazonas, Manaus, 2014.
• [21] Petersen, P. Riemannian Geometry. Springer-Verlag. New York, 1998.
• [22] Rauch, H. E. A contribution to differential geometry in the large. Ann. of Math. 54, p. 38-55, 1951.
• [23] Ros, A. Compact hypersurfaces with constant higher order mean curvatures. Revista Matemática Iberoamericana 3, p. 447-453, 1987.
• [24] Spivak, M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish. 1979.

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